Aplicação de Série de Fourier na Forma Exponencial a sistemas LCIT

Resumo

A teoria de Fourier é muito utilizada nas ciências em geral, principalmente nas areas que envolvem Matemática, Engenharia, Computação, Musica, Ondulatória e Sinais Digitais. Neste trabalho, desenvolvemos a série de Fourier para sua forma exponencial e apresentamos uma aplicação desta para o estudo do sinal de sáıda de um Sistema Linear Contínuo Invariante no Tempo (LCIT). Durante o estudo da série de fourier, observamos como a teoria torna-se mais atraente quando apresentada visando também sua aplicação. Esta é a pretensão deste estudo, que está em andamento, e prevê também o estudo de transformadas integrais e suas aplicações. Seja f uma função definida no intervalo [T02 , T02 ], T0  0, e fora deste intervalo definida como f(x)  f(t  T0), ou seja, f(t) é T0 periódica. Do teorema de Fourier (recomendamos [1], [2]) para f e f ′ seccionalmente contínuas, a série trigonométrica a0 2 n1 [an cos (nω0t)  bn sin (nω0t)] , ω0 2pi T0 , (1) onde a0, an e bn são os coeficientes de Fourier (definidos por: a0 2 T0  T0 2 T0 2 f(t)dt, an 2 T0  T0 2 T0 2 f(t) cos (nω0t) dt e bn 2 T0  T0 2 T0 2 f(t) sin (nω0t) dt), é convergente para o limite f(t) 1 2 ( lim xt f(x)  lim xt f(x) ) Vamos reescrever a série de Fourier utilizando a exponencial complexa. Para isso, precisamos da fórmula de Euler, a qual diz que ejθ  cos θ  jsenθ, onde j2  1. Desta forma, podemos escrever cos θ ejθ  ejθ 2 e senθ ejθ  ejθ 2j . (2) Utilizando as equações em (2) podemos reescrever o argumento da série (1) da seguinte forma. an cos(nω0t)  bn sin(nω0t) 1 2 (an  jbn)ejnω0t  1 2 (an  jbn)e jnω0t. Consideremos cn 1 2(an  jbn), logo cn 1 T0  T0 2 T0 2 f(t)ejnω0tdt, (3) Bolsista CNPq do Projeto ”‘Forma Engenharia” Podemos observar c0 1 T0  T0 2 T0 2 f(t)dt a0 2 . Portanto, a série definida em (1) é reescrita como a0 2 n1 [an cos (nω0t)  bn sin (nω0t)] n cne jnω0t, (4) a expressão acima é denominada série de Fourier na forma exponencial. Vamos utilizar a série de Fourier exponencial para obter o sinal de sáıda de um retificador de onda (recomendamos [3], [4]), a partir de um sinal de entrada x(t). Existe uma grande conexão entre sistemas LCIT (recomendamos [3]) com a série de Fourier na forma exponencial. A resposta do estado nulo de um sistema LCIT com entrada de um sinal exponencial infinito é também um sinal exponencial infinito. De fato se h(t) é a função transferência para o impulso unitário a resposta do sistema y(t) será dada pela convolução y(t)  h(t)  est h(u)es(tu)du  est h(u)esudu︸ ︷︷ ︸ H(s). H(s) está definida apenas na região do plano onde a integral imprópria que a define é convergente, tal região é chamada de região de convergência de H(s). Consideremos x(t) um sinal periódico de período T0; então este sinal pode ser descrito pela série de Fourier na forma exponencial como x(t) cne jnω0t, onde ω0 2pi T0 . Para um sistema LCIT com função de transferência H(s), a sáıda para um sinal de entrada exponencial é ejω0t︸ ︷︷ ︸ H(jω0)ejω0t︸ ︷︷ ︸, entrada sáıda. A partir da linearidade obtemos 5 n cne jnω0t ︸ ︷︷ ︸ n cnH(jnω0)e jnω0t ︸ ︷︷ ︸, (5) entrada x(t) resposta y(t), onde cn é dado por (3). Desta forma a resposta y(t) se mantém como um sinal periódico; além disso, a resposta tem o mesmo período que a entrada x(t). Consideremos o circuito da Figura 1, onde R representa a resistência em Ω e C a capacitância em F . A equação de malha para este circuito fechado do filtro RC é Ri(t) 1 C  t i(t)dt  x(t). E a função de transferência é dada por H(jω) 1 RCjω  1 . Logo de (5) para ω  nω0 o sinal de sáıda do retificador pode ser expresso por y(t) n cn 1 RCjnω0  1 ejnω0t. Figura 1: Retificador de onda completa com filtro passa-baixa. Para x(t)  sen(t) e T0  pi encontramos cn 1 pi  pi 2 pi 2 sen(t)ej2ntdt 2 pi(1 4n2) , n 6 0 (6) e c0  2/pi, obtemos então o sinal de sáıda y(t) n 2 pi(1 4n2)(2RCnj  1)e 2jnt. Na Figura 2 apresentamos os gráficos dos sinais de entrada e sáıda para R  20Ω e C  110F . Com a solução encontrada, podemos analisar exatamente qual será a sáıda do circuito e, com essa Figura 2: Ilustração do sinal de entrada e sáıda respectivamente. informação, podemos prever se o equipamento que será ligado ao filtro irá funcionar da forma esperada, por exemplo. Na Figura 2 apresentamos os gráficos referentes aos sinais de entrada e sáıda para um circuito LCIT com resistência de valor R  20Ω e capacitância C  110F .