Polinômios Ortogonais de Freud e as Equações de Painlevé

Resumo

Como mencionado em [2], as equações diferenciais lineares são, razoavelmente, fáceis de serem estudadas. As equações diferenciais não lineares são mais difíceis e podem conter vários problemas adicionais. Um desses problemas é que as singularidades da solução dependem das condições iniciais. Tais singularidades são chamadas de singularidades móveis. Outro problema é o comportamento da solução na vizinhança de uma singularidade que pode ser classificado como: pólo, singularidade essencial ou ponto de ramificação. No final do século XIX, estudiosos como Poincaré, Fuchs, Picard e Painlevé interessaram-se em en- contrar equações diferenciais não lineares para as quais a solução geral é livre de pontos de ramificação móveis. Esse fato é chamado de propriedade de Painlevé. No inı́cio do século XX, Paul Painlevé descobriu que existem 50 equações diferenciais na forma canônica que satisfazem tal propriedade. Dessas 50, existem apenas seis que não podem ser reduzidas a equações lineares cujas soluções já são conhecidas. Essas equações ficaram conhecidas como equações de Painlevé. A primeira delas é PI : y" = 6y² + x. [...]