Estudo de Distribuições de Probabilidade: Simulação e Aplicação

Resumo

Muitos fenômenos têm associados a eles uma ou mais variáveis aleatórias, cujos valores possíveis são descritos por uma distribuição de probabilidades [6]. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória especifica um modelo probabilístico ou estocástico para o fenômeno em questão. Então, para entender o comportamento de uma variável aleatória precisamos definir a forma de sua distribuição de probabilidade.  Uma variável aleatória discreta tem distribuição de Bernoulli quando ela representa um experimento cujo resultado pode ser um sucesso (se ocorrer o evento de interesse) ou um insucesso (o evento de interesse não ocorre). A probabilidade de sucesso é p e a de insucesso é q1-p. Nessas condições se a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli a sua função de probabilidade é dada por [5]: xxqpxXP  1)( . Uma variável tem distribuição Binomial quando representa a execução de n vezes um experimento de Bernoulli, sendo cada execução independente da outra: xx kn qpCkXP  1,)( .   A distribuição mais simples para uma variável aleatória é a distribuição Uniforme. A distribuição Normal ou Gaussiana é a mais familiar das distribuições de probabilidade contínua e também uma das mais importantes cuja função densidade de probabilidade é dada por [5]: 22 2/)( 2 1 )(  xexf .  O objetivo deste trabalho é estudar e compreender as distribuições de probabilidade discretas e contínuas, suas propriedades e particularidades empregando simulação. A simulação computacional de qualquer fenômeno aleatório envolve a geração de variáveis aleatórias com distribuições pré-definidas. Uma vez que um modelo de distribuição de probabilidade tenha sido escolhido, um algoritmo para geração da variável aleatória deve ser utilizado. Podemos empregar o método de Monte Carlo de simulações [4,5] para retirar amostras de distribuições de probabilidades e deduzir distribuições de probabilidades amostrais de parâmetros de interesse, como média, desvio padrão, proporções específicas. Quanto à simulação de Monte Carlo de valores das distribuições de probabilidades, a planilha de cálculo [3] fornece um conjunto de ferramentas para análise de dados — denominado Ferramentas de análise. A ferramenta de análise Geração de números aleatórios preenche um intervalo com números aleatórios independentes tirados de uma, dentre várias distribuições. Entretanto, o número de distribuições disponíveis é pequeno e, além disso, para o estudo de distribuições amostrais, precisam ser gerados um conjunto muito grande de amostras. O que se propõe neste trabalho é a possibilidade de gerar números de uma determinada distribuição por fórmulas, portanto, mais prático.  Com um gerador de números aleatórios, na planilha será usada a função ALEATÓRIO(), podemos, em princípio, gerar números aleatórios de outras variáveis usando a correspondente função de distribuição acumulada.  Assim, para gerar valores x de uma distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, basta gerar um número aleatório u. Se up, então x 0, caso contrário, x  1. O número de sucessos num experimento de Bernoulli com n repetições e probabilidade de sucesso p tem distribuição Binomial de parâmetros n e p. Logo, a distribuição Binomial pode ser construída repetindo-se o procedimento de construção da distribuição de Bernoulli.  A distribuição contínua mais importante é a distribuição Normal ou de Gauss. Há vários métodos para gerar variáveis aleatórias normais. Um método eficiente é o de Box-Muller [1]. Nesse método são geradas duas variáveis aleatórias independentes com distribuição normal de média 0 e variância 1:  z1  raiz(-2.Ln(u)).cos(2. .v) e  z2  raiz(-2.Ln(u)).sen(2..v),  (1) onde u e v são variáveis aleatórias com distribuição Uniforme no intervalo  de 0 a 1. A distribuição Uniforme é gerada facilmente pela função ALEATÓRIO(). Valores da variável x com distribuição normal de média µ e variância 2 são obtidos por x1 µz1. ou x2 µz2.. O estudo das variáveis aleatórias foi útil e importante para a construção dos modelos probabilísticos de algumas situações experimentais [2] e também para a consequente estimação de seus parâmetros. Conclui-se ainda que o emprego de planilhas de cálculo em conjunto com a simulação foi uma alternativa viável e interessante para representar situações reais, ou ainda para descrever experimentos aleatórios.