Aproximação Adaptativa de Funções com bases de elementos tensoriais compactos

Resumo

O presente trabalho se enquadra na área de Análise Numérica, com enfoque em técnicas modernas de aproximação para funções em domınios multidimensionais que requerem resolução espacial adaptativa. Especificamente, o objetivo é encontrar algoritmos eficientes para aproximação de funções que apresentam detalhes importantes mas de pequena escala (alta frequência espacial) em regiões relativamente pequenas do domınio. Vamos supor que a função a aproximar (função objetivo) é amostrada em um número finito de pontos com posições arbitrárias, cuja densidade também pode variar bastante de uma região para outra. Nestas situações é desejável que a aproximação também seja adaptada à função objetivo, com maior parâmetros nas regiões onde há mais detalhes e/ou pontos. A aproximação de uma função pode ser desejável por diversos motivos, incluindo eficiência computacional, considerações teóricas sobre a grandeza física representada pela função, ou pelo fato dela ser conhecida apenas parcialmente. Espera-se que as funções aproximadoras pertençam uma classe mais simples e sejam mais fáceis de calcular e manipular, por derivadas, integrais, etc. Uma abordagem para aproximação adaptativa é utilizar combinações lineares de uma base de elementos radiais [1], com um elemento centrado em cada ponto dado. De modo geral, esta escolha dos centros dos elementos melhora a estabilidade dos algoritmos de aproximação [3]. Entretanto, quando o número de pontos é muito grande, mas a função amostrada é relativamente suave, podemos obter uma aproximação adequada com bases muito menores. Nesses casos, uma vez que não há um elemento da base para cada ponto, não há mais razão para que os elementos sejam centrados em pontos de amostragem. Por isso, optamos por usar uma base em que os centros dos elementos são um subconjunto de uma grade regular de centros, independente dos pontos de amostragem. Uma vez que optamos por uma grade regular de centros, o uso de elementos radiais (isotrópicos) também fica sem justificativa, pois o espaçamento entre os elementos depende da direção. Por isso, optamos pelo uso de elementos tensoriais, que são produto de elementos univariados cada qual dependendo de uma única coordenada do domınio. Os elementos tensoriais que usamos são derivados de um pequeno número de funções-mãe com suporte limitado (ou efetivamente limitado), por exemplo, escolhemos duas funções-mãe, propostas por Wendland: ΦP3,2(r)  (1 r)4(4r  1) e ΦP5,4(r)  (1 r)7(16r2  7r  1). A função-mãe ΦG(r), que denominamos de Gaussiana, definida pela fórmula ΦG(r)  e