O Método De Rayleigh-Ritz aplicado a um Problema de Deflexão de Viga utilizando o Matlab

Resumo

Este trabalho tem como objetivo avaliar os resultados do Método de Rayleigh-Ritz (MRR) aplicado ao seguinte Problema de Valor de Contorno (PVC) que modela a deflexão de uma viga apoiada sobre seus extremos: { ( ( ) )   ( )   ( )  ( )   ( ) A solução exata de ( )  ( )  é aproximada por uma combinação linear de funções de base   .  ( )      ( ) As funções    devem satisfazer as condições de fronteira e serem linearmente independentes. Para atender esta imposição selecionamos como funções de base, as funções lineares por partes expressas por:   ( ) { ilustradas graficamente na figura  . Em ( ) temos que           . A escolha deste espaçamento não constante, possibilita que a aproximação seja melhorada utilizando o mesmo número nodos. ( ) Figura  . Representação gráfica de   ( ). ( ) ( ) ( ) (7) Para determinar os coeficientes    é necessário, de acordo com [ ], minimizar o funcional associado ao PVC ( ), portanto, de forma geral temos que:  ( )    ( ) [   ( ) ]   ( )[ ( )]    ( ) ( ) Para tanto, substituímos (2) na equação ( ) obtendo:   { ( ) [    ( )   ]   ( ) [ ( )  ]    ( ) ( )  } O valor mínimo do funcional ocorre quando sua derivada parcial em relação á    é igual a  , ou seja Então,  ( )  ( )    ( )    ( )    ( )   ( )  ( )  ( ) A equação ( ) pode ser representada matricialmente na forma       , onde   é uma matriz tridiagonal de ordem    , e seus elementos são expressos por     { ( )    ( )    ( )   ( )  ( )  ( )} Os elementos do vetor   são dados por     ( )  ( ) Para validar a solução aproximada de ( ) consideremos o PVC que tem solução conhecida: { ( )        (   )  ( )   ( ) O qual tem solução exata                                                          ( )  (   )(     ) O algoritmo MRR foi implementado em linguagem de programação do software Matlab. Com    ,     e     , e   assumindo respectivamente os valores    ,     e     , ilustramos graficamente os resultados na figura  , em que: a aproximação obtida pelo MRR,  ( ), esta em azul; a solução exata,  ( ), esta em vermelho; o erro absoluto,  ( )    ( )    ( ) , esta em verde. (11) ( ) ( ) (8) (9) (10) (  ) Figura 3.  ( )   ( ) e  ( ), com    ,     e     . Na tabela  , são apresentados os valores dos erros absolutos para as simulações ilustradas na figura  , e seu padrão sugere a convergência de  ( ) para  ( ), à medida que aumentarmos a quantidade de nodos. Adicionalmente podemos verificar nas simulações que o erro é maior no centro do intervalo, portanto a liberdade de escolha de cada    pode ser usada para limitar o erro absoluto máximo. Por exemplo, para     com           ,            e           , o erro absoluto máximo é aproximadamente.