Um estudo numérico do método dos Gradientes Conjugados Projetados

Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo numérico do método dos Gradientes Conjugados Projetados, proposto por [1], para resolver problemas do tipo F(x) = 0, x ∈ Ω, onde Ω é um conjunto não-vazio, fechado e convexo e F : Rn → Rn é continuamente diferenciável e monótona. Tipicamente, problemas dessa natureza podem ser resolvidos por meio de algoritmos que produzem sequências que convergem para as suas soluções. Uma estratégia importante, utilizada em [1], para criar uma sequência {xk}k∈N que satisfaça a condição xk ∈ Ω para todo k ∈ N, é definir um operador projeção PΩ[·] : Rn → Ω, tal que PΩ[x] = argmin{∥y − x∥; y ∈ Ω}, para todo x ∈ Rn. Gostaríamos de observar que a determinação de projeções não é uma tarefa simples e pode aumentar consideravelmente o esforço computacional. Contudo, alguns conjuntos possuem uma fórmula fechada para a sua projeção.