Método multigrid com level set para problemas elípticos em domínios arbitrários

Resumo

A equação elíptica em domínios arbitrários (possivelmente com fronteira móvel) é central para muitas aplicações, como fenômenos de difusão, dinâmica de fluidos, eletromagnetismo e muitos outros. A ampla gama de aplicações pode exigir diferentes tipos de condições de fronteira. Os Métodos de Elementos Finitos (MEF) são abordagens bem estabelecidas para resolver Equações Diferenciais Parciais (EDP), no entanto, apresentam dificuldades na geração de elementos para representar uma variação significativa da curvatura de fronteiras complexas e o projeto de partição balanceada da malha para aplicações paralelas é pouco prático. Por estas razões, métodos Level Set (LS) com abordagens baseadas em Métodos de Diferenças Finitas (MDF) onde o domínio está imerso em uma malha fixa estão aumentando sua popularidade na literatura, uma vez que não requerem nenhum esforço de geração de malha e ao mesmo tempo permitem um projeto natural de redes paralelas. O método Multigrid (MG) está entre os métodos iterativos mais eficientes para EDP discretas. Inicialmente projetados para equações elípticas, os métodos MG foram amplamente adotados para resolver inúmeros problemas graças ao seu custo de computação ideal que é escalonado linearmente em relação ao número de nós computacionais para matrizes esparsas, superando muitos outros métodos numéricos. Embora inicialmente abordagens de MG tenham sido propostas para domínios simples, como retângulos em 2D e cubos em 3D, a aplicação a domínios de formas mais complexas ganhou um interesse crescente na comunidade científica nos últimos anos em vários contextos.