Soluções Numéricas da Equação de Poisson

Eficiência do Método de Jacobi com Devito e NumPy

Resumo

Neste trabalho, analisamos as soluções numéricas da equação de Poisson por meio do método iterativo clássico de Jacobi, explorando duas abordagens distintas de implementação computacional: uma implementação manual em NumPy [2], com controle direto dos loops e esquemas numéricos, sem otimizações avançadas; e uma implementação simbólica utilizando o Devito [4], que gera código otimizado automaticamente a partir de expressões diferenciais definidas com o SymPy e que também utiliza NumPy internamente para operações auxiliares. Consideramos o problema (1) definido em Ω = [−1, 1] × [−1, 1]: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = −2, em (x, y) ∈ Ω, u(x, y) = 0, para (x, y) ∈ ∂Ω. A discretização do domínio considera espaçamentos uniformes em x e y da seguinte forma: x_i = x₀ + ih e y_j = y₀ + jh, i, j = 1, . . . , N − 1, tal que h é o espaçamento espacial e N é a quantidade de subintervalos em ambas as direções, sendo x₀, y₀, x_N, y_N ∈ ∂Ω. O problema (1) foi aproximado pela equação discreta (2) que representa o método iterativo de Jacobi [1, 3], implementado de duas formas: manualmente com NumPy e por meio da geração de código otimizado fornecida pelo Devito. Com o objetivo de avaliarmos a eficiência do método numérico a partir das distintas formas de implementação, realizamos uma análise comparativa através do refinamento de malha. A Tabela 1 apresenta a acurácia de cada solução numérica considerando o erro relativo na norma de Frobenius, além do desempenho das duas bibliotecas em termos de iterações e tempo de execução. Todas as simulações foram realizadas na plataforma Google Colaboratory. [...]