Otimização Semidefinida para Resolução do Problema de Matriz de Correlação mais Próxima

Resumo

Este trabalho apresenta uma revisão bibliográfica detalhada sobre otimização semidefinida, com foco no problema de programação quadrática. Inicialmente, fornece-se um embasamento teórico abrangente, abordando diferentes tipos de problemas de otimização e as condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). A partir desse arcabouço teórico, utilizam-se o princípio de decomposição de Moreau e os conceitos de derivada generalizada de Clarke para desenvolver métodos de Newton Semissuave aplicados à resolução de problemas de otimização quadrática restritos ao cone Rⁿ₊. Em seguida, tais métodos são generalizados para problemas de otimização restritos a um cone convexo qualquer e aplicados a problemas restritos aos cones de matrizes semidefinidas positivas (Sⁿ₊) com restrições lineares. Por fim, introduz-se o problema da Matriz de Correlação Mais Próxima (NCM) e demonstra-se como aplicar os métodos desenvolvidos para resolver esse problema, implementando o algoritmo de Newton Semissuave para o NCM em Python. Além disso, compara-se o desempenho do algoritmo de Newton semissuave com outros métodos clássicos da literatura, como o método de Projeções Alternadas, para essa aplicação. [...]