Um estudo sobre equações diferenciais fuchsianas e as relações com as superfícies associadas às tesselações de Farey

Resumo

Resumo: As equações diferenciais fuchsianas possuem como principal característica o fato de todo ponto singular no plano complexo estendido ser regular. Casos particulares considerados consistem de três e quatro pontos singulares regulares. Observa-se uma interessante relação entre as singularidades de uma equação diferencial fuchsiana, os vértices de um triângulo fundamental nas tesselações de Farey e a superfície associada à transformação aplicada ao polígono fundamental. Analisando a equação diferencial fuchsiana com três pontos singulares regulares ({0, 1,}) notamos que esses pontos fazem parte de uma região fundamental triangular e que os emparelhamentos das correspondentes arestas (transformações elíptica e parabólica) dão origem a uma superfície esférica. Esses pontos singulares regulares fazem parte da série de Farey F1. Como consequência, temos a relação dos coeficientes da equação diferencial fuchsiana, suas singularidades, o triângulo fundamental e a superfície associada. Nesta direção, propomos generalizar este resultado para outras regiões fundamentais contendo n lados e com os vértices (pontos singulares regulares) fazendo parte da série de Farei Fn2. Consequentemente, o objetivo será de estabelecer a relação entre os coefientes da equação fuchsiana contendo n pontos singulares regulares com a superfície associada ao emparelhamento entre os lados dos polígonos fundamentais.