Modelagem Computacional do Crescimento do Glioma via Diferenças finitas

Resumo

Um dos fenômenos mais agressivos, o câncer, tem despertado a pesquisa de inúmeros modelos matemáticos capazes de descrever a evolução desta neoplasia e ajudar, desta forma, no entendimento da doença e na aplicação das terapias existentes. Em particular, o glioma de grau IV, tumor cerebral primário, possui uma combinação de rápido crescimento e invasibilidade refletindo na taxa de 100% de fatalidade, se tornando um campo de pesquisas para novas abordagens terapêuticas e plannejamento das terapias convencionais. A simulação destes modelos matemáticos nos permite compreender a evolução do tumor em resposta à terapia sem a necessidade de expor a vida do paciente ao risco, por se tratar de uma técnica não invasiva. Dentre os modelos existentes, Bellomo et al. [1] descreve o modelo de crescimento de células de glioma proposto por Swanson et al. [2] a qual simulou, utilizando o método numérico de elementos finitos de Skeel e Berzins, para alguns tipos de fracionamentos de dose descrito em [2]. O modelo é descrito por uma equação do tipo reativa difusiva com condição de contorno de Neumann, por não ocorrer metástase para este tipo de tumor, como segue: @c @t   · (Dc)  cR(; d(x; t))c; (1) onde d  d(x; t) representa a dose fracionada definida no espaço e tempo, c  c(x; t) é a concentração de células tumorais no domınio, D o coeficiente de difusão e  a taxa de proliferação. O termo que descreve os efeitos da radioterapia é dado do seguinte modo: S ( ; d(x; t) )  eBED; BED  N ( d d2 ) ; (2) e R ( ; d(x; t) ) { 0; para t  terapia 1 S(; d(x; t)); para t  terapia (3) bolsista de mestrado Capes ybolsista de pós-doutorado Capes Este termo relaciona o modelo linear quadrático, que calcula os efeitos causados pelo fracionamento de dose, com a dose biológica efetiva (BED) para calcular a probabilidade de sobrevivência das células (S). O número de frações da dose é dado por N , já  e  são os parâmetros ajustáveis do modelo linear quadrático [1]. O propósito deste artigo é simular o crescimento de células tumorais (glioma) em resposta à radioterapia a partir do modelo de Swanson et al. [2] para 5 esquemas de tratamento abordados em [2], utilizando o método de diferenças finitas, especificamente o método de Crank-Nicolson, fazer a análise de estabilidade do método e comparar de forma quantitativa os resultados obtidos neste trabalho com os de Swanson et al. [2]. A simulação do modelo (1) foi feita para o caso unidimensional, através do método de CrankNicolson [3] e implementada em MatLab, utilizando as mesmas condições iniciais e esquemas de terapias descrito em [2]. Os resultados obtidos se encontram na Figura 1, a qual descreve a evolução do raio do tumor de acordo com os dias e os esquemas de tratamento. [...]