Minimização do Custo da Produção dos Alimentos de um Restaurante Universitário de Acordo com o Cardápio Diário

Resumo

O restaurante universitário (RU) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, câmpus Cornélio Procópio, é frequentado por alunos, professores e servidores que realizam suas refeições diariamente. Devido ao aumento do número de usuários, o crescimento do espaço físico e estrutural do restaurante se fez necessário para melhor servi-los. Diante desta realidade, o restaurante deve então produzir uma quantidade maior de refeições para atender a demanda diária de almoço e jantar. O cardápio básico é composto de arroz, feijão, legumes e uma carne. Com o crescimento da produção dos alimentos, surgiu também a preocupação com o aumento de possíveis sobras e com o custo total da produção dos alimentos, o que pode prejudicar o lucro da empresa responsável pelo funcionamento do restaurante. A partir deste contexto, este trabalho propõe a formulação matemática do problema apresentado como um Problema de Programação Linear PPL ([3], [4] e [6]), baseado na formulação do bem conhecido Problema da Dieta, explorado na literatura por [1], [5], [6] e [7]. Desta forma, o problema consiste em minimizar o custo total da produção diária de alimentos do restaurante universitário de maneira que toda a demanda seja atendida. A solução esperada é a quantidade em quilogramas (kg) de arroz, feijão, carne e legumes que devem ser produzidos diariamente. O Problema da Dieta vem sendo explorado na literatura desde 1945 e foi proposto por George Stigler, pioneiro no ramo ([8]). Nesta época, não havia um método que facilitasse os cálculos; porém, Stigler resolveu um amplo conjunto de inequações e obteve a resposta desejada. Mais recentemente, o trabalho de [7] apresenta uma ferramenta para avaliação de modelos matemáticos para a otimização do planejamento de dietas. Resultados da implementação de alguns modelos são obtidos e comparados. A solução para o problema do restaurante universitário, proposto neste trabalho, é obtida aplicando-se o Método Simplex, ferramenta criada por George Dantzig ([5]), que se trata de um método iterativo de auxílio à tomada de decisões e que pode ser consultado em [2], [4] e [6]. Dantzig necessitava encontrar um bom problema para testar o novo método criado, sendo o problema da dieta de Stigler escolhido para isso. Segundo [6], em linhas gerais, o Método Simplex parte de uma solução básica viável, pertencente a um vértice, do sistema de equações que constituem as restrições do problema. A partir dessa solução inicial, o algoritmo identifica novas soluções viáveis de valor igual ou melhor que a corrente. Assim, o processo encontra novos vértices da envoltória convexa do problema e determina se este vértice é ótimo ou não, ou seja, se a troca de variáveis na base pode ainda melhorar a função objetivo. O problema do restaurante universitário, formulado como um PPL, tem por objetivo minimizar o custo da produção diária de alimentos que atenda à demanda de 1200 refeições diárias, considerando almoço e jantar, e que forneça os nutrientes necessários aos usuários. Os dados do problema, que se referem à quantidade de nutrientes por quilograma de alimento cozido, estão descritos na Tabela 1, assim como o preço por quilograma de alimento. Os dados referentes aos nutrientes são provenientes de [9]. O problema é formulado conforme as equações apresentadas em (1). Nesta formulação, as variáveis de decisão x1, x2, x3 e x4 representam, respectivamente, as quantidades em quilograma a serem produzidas de arroz, feijão, carne e legumes. [...]