Transformações, isometrias e grupos – do ensino básico ao ensino superior

Resumo

 É de grande relevância o ensino das transformações geométricas, tanto no ensino básico como no ensino superior, pois são ferramentas muito úteis em demonstrações, para resolver problemas de geometria, na introdução da ideia de grupos e no raciocínio matemático em geral.      Uma transformação geométrica no plano é uma correspondência biunívoca do conjunto dos pontos do plano nele mesmo. Em particular, se F é uma figura no plano, a imagem de F pela transformação T é o conjunto F’ dos pontos imagens de F, denotado por F′T(F). Dentre as transformações geométricas no plano temos as isometrias e a homotetia, que são princípios básicos para os conceitos de congruência e de semelhança, respectivamente. Vamos direcionar nosso estudo para as isometrias no plano. Isometria é uma transformação geométrica que preserva a distância entre pontos. São isometrias: translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes. O conjunto das isometrias possui uma estrutura algébrica de grupo com a operação composição. Grupos de simetria de uma figura: considerando F o conjunto de pontos de uma figura contida no plano P, o grupo de simetrias de F é o conjunto de todas as transformações no plano que deixam F invariante, ou seja, o conjunto imagem de F é o próprio F. O processo de determinar o grupo de simetria pode ser exaustivo. O uso do algoritmo I para determinar o grupo de simetrias de uma figura limitada pode tornar esse trabalho mais simplificado. No algoritmo, Cn denota o grupo cíclico gerado por uma rotação de ordem n e Dn denota o grupo diedral de ordem 2n. [...]