Equações diferenciais fracionárias em engenharia

Resumo

A modelagem matemática via equações diferenciais tem um papel de enorme destaque, visto que tal técnica vem sendo utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII. Um fenômeno, quando descrito em termos de símbolos e relações matemáticas, que de certa forma podem reproduzir ou transcrever o objeto estudado, é dito por Modelo Matemático. No entanto para se chegar a um Modelo Matemático, é necessária muita análise e estudo para se chegar a uma melhor aproximação da realidade. Depende-se das variáveis selecionadas e dos recursos disponíveis. Esse processo é denominado de Modelagem Matemática. A Modelagem Matemática é visto como o processo em que se transformam os problemas e eventos reais, em problemas matemáticos e resolvem os interpretando seus resultados no âmbito real. Tal problema matemático pode ser uma equação diferencial (ED), um sistema de equações não lineares, uma equação integral e assim por diante. Uma equação diferencial é obtida quando se observa um fenômeno, coletam-se taxas de variação e então se relacionam a com a própria função que descreve tal fenômeno. A principal motivação para se estudar métodos para resolver equações diferenciais é buscar entender o processo físico que se acredita ser inerente à equação estudada. A importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples correspondem a modelos físicos úteis, como, por exemplo, sistemas massa-mola, deflexão em vigas. A construção, bem como a compreensão, de um processo complexo é alcançada, em geral, através da compreensão de modelos mais elementares. Desta forma, o conhecimento profundo e detalhado destes modelos mais básicos é o primeiro, e fundamental passo, para se estudar problemas mais complexos e detalhistas. Outro fator importante é que dentre as diferentes formas de se buscar a solução de uma equação diferencial ordinária ou parcial a conhecida metodologia das transformadas integrais tem um papel de destaque. A referida metodologia consiste em aplicar uma determinada transformada integral ou a justaposição de transformadas integrais em um determinado problema, o que nos conduz a um problema cuja solução pode ser obtida de forma mais simples. Resolve-se o problema transformado e recupera-se a solução através das transformadas inversas. Ou seja, transfere-se a dificuldade do problema de partida para o cálculo da transformada inversa. O objetivo geral deste projeto foi um estudo sistemático da modelagem matemática aplicada à engenharia, detalhando sua aplicabilidade, complexidade e formas de se resolver as equações diferenciais obtidas a partir da modelagem. Como também maneiras de se aproximar ainda mais do modelo real por meio da utilização do cálculo fracionário. O foco maior da pesquisa foi realizar um estudo detalhado das transformadas integrais de Laplace, suas principais propriedades, teoremas de convolução e aplicações, devido a sua importância na resolução de equações diferenciais (...)