Problemas de Autovalor Generalizado: Desafios e Aplicação em Mecânica dos Fluidos

Abstract

Problemas de autovalor generalizado (P.A.G.) podem ser encontrados em diversas áreas da ciência. Um em particular é o problema de estabilidade hidrodinâmica [2], que consiste em dizer se após sujeito a alguma pequena perturbação, um escoamento sofrerá uma mudança considerável no seu perfil de velocidade. O problema de autovalor generalizado aparece após uma perturbação em modos normais ser introduzida nas famosas equações de Navier-Stokes, e considerando somente os termos lineares uma discretização do problema é realizada.

 Este trabalho se baseou em [2], que soluciona o problema para o escoamento de Couette (já bastante estudado na literatura por sua grande importância), discretiza o espaço e soluciona o P.A.G. usando o algoritmo QZ, após uma determinada transformação que retira os chamados autovalores no infinito do problema e diminui razoavelmente o tamanho do mesmo. A diferença deste trabalho é o uso do iteração de Arnoldi, com uma transformação de Shift-Invert, semelhante `a [1] para o cálculo dos autovalores do problema. As adversidades como autovalores no infinito e matrizes de grande dimensão são tratados pela segunda técnica, que transforma o problema em um de autovalor tradicional envolvendo uma matriz consideravelmente menor. Espera-se refinar esta segunda técnica, de modo que seja possível resolver problemas de grande porte (que num contexto de mecânica dos fluidos aparece em problemas bidimensionais e tridimensionais), insolúveis em tempo hábil usando o algoritmo QZ.