Uniformização de Curvas Algébricas Planares via EDOs Fuchsianas no Estudo de Sistemas de Comunicação

Abstract

Neste trabalho propomos que as sequências de Farey sejam consideradas como provedoras das raízes de curvas algébricas planares e consequentemente como sendo provedoras das singularidades associadas às equações diferenciais fuchsianas. Como ponto de partida, consideramos as equações hipergeométrica e de Heun, com três e quatro pontos singulares regulares, respectivamente. Por meio deste procedimento, a região fundamental associada ao grupo fuchsiano é identificada e portanto, é essa a região onde ocorrerá a uniformização da curva algébrica planar. Apresentamos um caso de incompatibilidade dos gêneros de uma curva algébrica de grau 5 (gênero 2), com o correspondente caso de uma equação diferencial fuchsiana com seis pontos singulares regulares cuja região fundamental apresenta gênero 1. Esta incompatibilidade ocorre a partir desse caso considerado e é devida ao fato da existência de uma transformação elíptica ou parabólica, como um dos geradores do grupo fuchsiano, no processo de identificação da região fundamental que deverá uniformizar a curva algébrica planar. Os resultados apresentados permitem, além da caracterização teórica de elementos relacionados às equações diferenciais fuchsianas e geometria hiperbólica, a sua utilização no processo da caracterização algébrica e geométrica do problema de quantização de canais DMC.