Identidades deMacWilliams para códigos poset

Abstract

Um dos resultados mais importantes na teoria de códigos são as identidades de MacWilliams, que relacionam a distribuição de pesos de um código com a de seu dual. Kim e Oh mostraram que quando estamos trabalhando com códigos lineares sobre conjuntos parcialmente ordenados (abrev. posets), tais identidades valem se e somente se o poset é hierárquico [6]. Choi et al. consideram distribuições de pesos de um código poset em que se leva em conta também uma relação de equivalência no conjunto I (P ) dos ideais de ordem do poset P , sendo que o polinômio enumerador clássico corresponde ao caso em que dois ideais são equivalentes se tem o mesmo número de elementos. Neste contexto derivam-se identidades semelhantes às de MacWilliams para posets nãohierárquicos, obtendo-se matrizes que relacionam as distribuições de peso do código com seu dual [2]. Neste trabalho mostramos que quando o poset é uma união disjunta de cadeias, tais matrizes são inteiramente determinadas a partir das entradas referentes a uma das cadeias do poset. Utilizamos os resultados obtidos para provar os resultados apresentados por Dougherty e Skriganov em [3] através da P -métrica obtida ao invés da _-métrica utilizada pelos autores. Finalmente, mostramos que todos os 3 casos de identidades generalizadas de MacWilliams apresentados em [2] correspondem a distribuições de pesos associadas a uma relação de equivalência dada pela ação de um grupo de automorfismos de P .