Convexidade generalizada e condições de otimalidade para problemas multiobjectivos

Abstract

Apresentamos um estudo sobre o papel das funções convexas generalizadas no estudo de problemas multiobjetivos. Inicialmente, caracterizaremos a eficiência fraca em termos de escolarização. É sabido que, sob hipótese de convexidade, toda solução fracamente eficiente é solução do problema ponderado. Mais geralmente, um problema multiobjetivo é KT-invexo se e somente se toda solução fracamente eficiente é solução de um problema ponderado. Consideramos também as condições necessárias de otimalidade de 1a. e de 2a. ordem. É bastante conhecido que, sob hipóteses de convexidade, as condições de Kuhn-Tucker são suficientes para a otimalidade. Consideraremos a classe dos problemas KT-pseudoinvexos, os quais possuem a seguinte propriedade: um problema é KT-invexo se, e somente se, todo ponto Kuhn-Tucker é solução fracamente eficiente do problema multiobjetivo. Al_em disto, vale um resultado semelhante a este, utilizando-se as condições necessárias de 2a. ordem. Veremos que um problema multiobjetivo é KT-pseudoinvexo de segunda ordem se, e somente se, todo ponto Kuhn-Tucker de segunda ordem é solução fracamente eficiente. Na obtenção destes resultados, os teoremas de alternativa foram amplamente utilizados.