O Número de Ouro via Método de Newton-Raphson

Abstract

 O presente trabalho trata de uma abordagem para encontrar uma equação cuja solução se aproxima do número de ouro, pautada na aplicação do método de Newton-Raphson (N-R). Especificamente, busca-se o único valor real positivo para a seguinte equação 012  xx . O encaminhamento para o estudo da aproximação, também se fez por meio do programa R, dado a precisão dos valores, sendo que a escolha do método de N-R deve-se a sua rápida convergência nesse caso. O número de ouro representado pela letra grega   (phi), caracteriza-se pela sua autopropagação, ou seja, está presente em diversas áreas do conhecimento [5]. É um número irracional sendo convencional exibi-lo arredondado para três casas decimais: 618,1 . Uma das aplicações de   na geometria é na solução da equação, 01  ff , que é obtida do fractal Árvore Áurea. Muitos fractais da natureza possuem como característica principal a ramificação, assim como essa Árvore, alguns desses são obtidos considerando um processo de iteração na qual inicialmente tem-se um ramo de uma unidade de comprimento, donde se obtém dois novos ramos de comprimento 2/1  com 120º, como na Figura 1. E assim aplicando esse fator de redução 2/1  o processo continua indefinidamente. Figura 1 – Fractal Árvore.                             Figura 2 – Fractal com ramos sobrepostos. Fonte: Livio, 2002, p. 219.      Em sistemas como o sistema circulatório de sangue, pode interessar saber qual o fator de redução que faz com que os ramos comecem a se sobrepor, como na Figura 2. Isto acontece para o fator de redução 618,01 . A condição para que dois ramos se toquem é que a soma de todos os comprimentos decrescentes dos ramos horizontais a partir de f  é igual ao componente horizontal do ramo de maior comprimento f . Segue que ...º30cosº30cosº30cosº30cosº30cos 654  fffff  . Ou seja, ... 654  fffff * Docente da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) campus Toledo.  Observa-se do lado direito da equação a soma de uma série geométrica infinita, logo 11 1 1 fff f f f f . A equação obtida, 01  ff , tem única solução real 2 15 , ou seja, 1  [4]. Note como obter a equação 012  xx , cuja solução real positiva é  . Considere um segmento AB de medida x (unidade), estipulando um ponto C qualquer pertencente ao segmento AB obtemos dois novos segmentos AC e CB. O ponto C pode ocupar infinitas posições, contudo, só “existe uma única posição – posição de ouro – onde este ponto C divide o segmento AB em dois segmentos proporcionais, tal que o quociente entre as medidas do segmento todo pela parte maior é igual ao quociente entre as medidas da parte maior com a parte menor” [1]. Estipulando a medida de AC igual a a e a de CB igual a ax  , dado que AB mede x, a posição de ouro será obtida de ax a a x  Assim, reescreve-se a equação obtida: 0)(  aaxxaaxx . Veja que a solução é 2 )51( a , mas desconsidera-se a solução negativa. O número 2 51 é o valor de  , assim ao fazer a1 temos a equação a qual procuramos.  Nesse contexto, poderíamos determinar a raiz da equação 01  xx  por meio da fórmula de Bhaskara também, contudo, nosso objetivo é pautar-se em métodos mais avançados, e como essa equação é polinomial, será de fácil compreensão para o leitor acompanhar o desenvolvimento do método estipulado para o presente texto.  O método de Newton-Raphson (N-R) consiste em um processo iterativo para a determinação de raízes de funções não lineares [1]. Para utilização do método faz-se necessário analisar a função em questão e sua derivada em um determinado ponto, ou seja, se a função apresentar-se simples para derivar, esse método é apropriado. Para sua aplicação é preciso admitir um chute inicial ix para o valor da raiz procurada, determinando a reta tangente à função nesse ponto  )(, ii xfx . Assim o ponto onde essa tangente cruzar o eixo das abcissas é uma estimativa da raiz – Figura 3. Figura 3 – Descrição gráfica do método de N-R Fonte: Elaborada pelo autor Observando a interpretação geométrica na Figura 3, pode-se escrever a seguinte equação 1 0)( )(' ii i i xx xf xf . Reorganizando a mesma temos )(' )( 1 i i ii xf xf xx  , a qual é chamada de fórmula de Newton-Raphson [3]. Para que possamos aplicar o método, se faz necessário verificar a convergência do mesmo, para poder prosseguir com os cálculos. Para tanto, considere o teorema: seja ],[ baf  . Se ],[ bax  tal que 0)( xf  e 0)( xf , então existe um 0 , tal que o método de N-R gera uma sequência 0}{ nnx   que converge para x  para qualquer aproximação inicial ],[0   xxx 1 [2]. Como a 1)( 2  xxxf , a convergência está garantida. O método de Newton-Raphson é também um método iterativo assim como a maioria dos métodos numéricos, para isso é necessário estipular um erro máximo que determinará o critério de parada das iterações a serem realizadas. O erro ( ) é dado calculando a f do valor encontrado na iteração, e esse valor deverá ser menor que o erro desejado para que se encerre o processo de iterações. O chute inicial é dado de forma que a convergência seja mais rápida e pode ser dado com base no gráfico da equação, no entanto se o chute for muito distante da raiz, a quantidade de iterações será muito maior. Na equação onde a solução é o número de ouro temos 12)('1)(  xxfxxxf ii . Admitindo um erro de aproximação para essa raiz de 0000001,0 e um chute inicial para ix  de 1,2 temos 742857143,1 1)2,1(2 12,1)2,1( 2,11 ix Calculando o erro ( ), obtemos 294693878,0)742857143,1( f , o qual é maior do que o erro permitido, e portanto é necessário continuar com as iterações. Assim, admitimos 1,742857143 para ix , para continuar as iterações. Resumidamente obtermos o seguinte: Tabela 1: resultados das iterações ix  1ix 1,2 1,742857143 0,294693878 1,742857143 1,624302135 0,014055290 1,624302135 1,618051462 0,000390710 1,618051462 1,618033989 0,0000000001 Portanto, a solução aproximada para a equação é 1,618033989. Em comparação, obtém-se a solução pelo software R, o qual apresenta como resultado 1,618034.  O método de Newton Raphson é eficiente para encontrar uma aproximação da raiz da equação 01  xx . Mediante a proposta apresentada, observa-se a convergência para o valor aproximado do número de ouro. Lembrando que, uma das características marcantes do método de N-R em relação a outros métodos numéricos é acelerar o processo de convergência, ou seja, menor número de iterações.