Modelagem matemática da quantidade de álcool no sangue

Abstract

 Suponha que haja a necessidade do consumo de determinada quantidade de uma substância, porém esse produto em excesso no organismo causa sintomas colaterais ou até leva a morte. Frente a isso, é natural pensar em como se dá a eliminação em relação à ingestão com o objetivo de quantificar a substância no organismo no tempo t e evitar que ela exceda o limite. Uma das ferramentas para modelar esse problema Biomatemático, são as equações diferenciais. Elas tem sido usadas para modelar desde problemas de dinâmica populacional até crescimento de tumores entre outros problemas [2], [1]. Muitos destes modelos não tem soluções analíticas sendo necessário o auxılio de Métodos Numéricos, um exemplo é o método de Runge-Kutta, para a obtenção de resultados. O consumo de álcool é um caso particular do problema mais geral do processamento e controle de substancia perigosas, mas em comparação com outros problemas, há mais estudos e trabalhos nesta área incluindo alguns modelos matemáticos para a variação da concentração de álcool baseados em equações diferenciais. Porém, a ingestão e eliminação simultânea de álcool não tem sido considerada amplamente nestes modelos. Considerar estes fatores na modelagem do problema é relevante, pois levaria a uma melhor compreensão e controle da variação da quantidade de álcool no sangue. Na literatura consultada sobre os modelos matemáticos para a dinâmica do álcool no sangue, encontramos dois artigos relevantes que apesar de comentar sobre as três fases do consumo (Absorção, Metabolização e Excreção), não as consideram completamente no modelo. No artigo [4] são consideradas duas equações da seguinte forma: dA dt  k1A (1) dB dt  k1A k2B (2) Onde A e B são funções da quantidade de álcool no estômago, e no sangue, respectivamente, k1 uma constante de absorção do estômago e k2 uma constante de eliminação de álcool do sangue. Este modelo considera duas etapas de ingestão (estômago e sangue) mas supõe uma taxa de eliminação em sangue proporcional a quantidade de álcool presente no estomago, o que não é necessariamente realista. Em [3], se considera apenas a segunda etapa da seguinte forma: dx1 dt   αx1 x1  βb (3) Onde x1 é a função da quantidade de álcool no sangue e as constantes b, α e β relativas à taxa de gênero, parâmetro relacionado ao fígado e ao pâncreas, respectivamente. Este artigo é relevante, pois Estudante de Graduação usando a função racional  αx1 x1  βb , é possível supor taxa de eliminação limitada por α, o que faz mais sentido do que a taxa de eliminação proporcional à quantidade de álcool. Com base nesses dois artigos vamos considerar o seguinte modelo que além de incluir as duas fases no processo de consumo, e considerar uma taxa de eliminação em sangue limitada usando uma função racional, também levando em conta a função de ingestão, de seguinte forma: dA dt  k0A I(t) (4) dB dt  k1A k2B k3 B (5) Onde I é uma função de ingestão, A e B são funções da quantidade de álcool no estômago e sangue, k0,k1,k2 e k3 são constantes de eliminação de álcool no estômago, absorção de álcool no sangue, eliminação máxima de álcool no sangue e da dissolução de álcool no sangue, respectivamente. Para a validação visual foi usado o Método Numérico Runge-Kutta de quarta ordem. Implementado em MatLab com o uso de scripts, material complementar. Na Figura 1 são expostas duas politicas de ingestão tendo a constante de eliminação de álcool do estômago como k0  0.8 e as constantes de absorção k1  0.75, de eliminação k2  2.5 e dissolução k3  5 de álcool no sangue, com pontos espaçados em 0.001, sendo esses valores definidos arbitrariamente para a visualização do modelo. Na Figura 1 são indicadas em verde a função de ingestão, em azul a função da quantidade de álcool no estômago e em vermelho a quantidade de álcool no sangue. (a) Ingestão 1 (b) Ingestão 2 Figura 1: Diferentes formas de ingestão. Esses testes foram realizados tomando como base que a integral da ingestão no intervalo [0, 20], que simboliza a quantidade ingerida, é constante e igual a 5 unidades de álcool. Simulado na Figura 1 duas formas constantes de ingestão sendo que em 1a é tida uma ingestão de 5 unidades de álcool durante uma unidade de tempo e em 1b uma ingestão de 0.5 unidades de álcool durante 10 unidades de tempo. Note que na figura 1a a quantidade de álcool máxima é maior do que na 1b, entretanto se o impacto for calculado acima de 0.1, não é tão clara qual a melhor forma de consumo .Para quantificar esses valores utilizaremos em trabalhos futuros métodos de integração numérica com o objetivo de solucionar essa questão.