Método completo de diferenças finitas centradas
para a equação de Helmholtz
DOI:
https://doi.org/10.5540/03.2025.011.01.0440Keywords:
Equação de Helmholtz, Diferenças Finitas, Poluição do erro, Dispersão, EstabilizaçãoAbstract
Uma nova abordagem em diferenças finitas (MCDFC) é desenvolvida, a qual é formada por três passos. O primeiro passo consiste em fixar a dimensão do subespaço local de aproximação com a escolha do estêncil. No segundo passo é necessário construir uma base de vetores geradores para este subespaço. O terceiro passo consiste em determinar os coeficientes da combinação linear. Assim, o MCDFC é capaz de gerar qualquer esquema de diferenças finitas que pertence a esse subespaço. A base de vetores geradores é formada pelo esquema centrado clássico e novos esquemas centrados. Os coeficientes da combinação linear são escolhidos de forma a minimizar a relação de dispersão em qualquer dimensão. No caso 1D consegue-se eliminar totalmente a dispersão de onda, ou seja, o efeito de poluição do erro é eliminado. No caso 2D com estênceis de 5 e 9 pontos são obtidas relações de dispersão equivalentes às relações dos métodos GLS e QSFEM, respectivamente. O MCDFC é consistente e apresenta a maior estabilidade possível. Resultados numéricos confirmam o bom desempenho do método.
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References
G. B. Alvarez, A. F. D. Loula, E. G. D. Do Carmo e F. A. Rochinha. “A discontinuous finite element formulation for Helmholtz equation”. Em: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 195.33-36 (2006), pp. 4018–4035. doi: 10.1016/j.cma.2005.07.013.
G. B. Alvarez e H. F. Nunes. “Novos esquemas de diferenças finitas para a equação de Helmholtz”. Em: Anais do Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional (ERMAC–RJ). 2023, pp. 1–7. doi: 10.29327/1343139.
G. B. Alvarez e H. F. Nunes. “Novos esquemas de diferenças finitas para a equação de Helmholtz”. Em: REMAT: Revista Eletrônica da Matemática (2024). Aceito.
I. Babuška, F. Ihlenburg, E. T. Paik e S. A. Sauter. “A Generalized Finite Element Method for solving the Helmholtz equation in two dimensions with minimal pollution”. Em: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 128 (1995), pp. 325–359. doi: 10.1016/0045-7825(95)00890-X.
I. M. Babuška e S. A. Sauter. “Is the Pollution Effect of the FEM Avoidable for the Helmholtz Equation Considering High Wave Numbers?” Em: SIAM Journal on Numerical Analysis 34.6 (1997), pp. 2392–2423. doi: 10.1137/S0036142994269186.
E. G. D. Do Carmo, G. B. Alvarez, A. F. D. Loula e F. A. Rochinha. “A nearly optimal Galerkin projected residual finite element method for Helmholtz problem”. Em: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 197.13-16 (2008), pp. 1362–1375. doi: 10.1016/j.cma.2007.11.001.
D. T. Fernandes. “Métodos de Diferenças Finitas e Elementos Finitos para o Problema de Helmholtz”. Tese de doutorado. Laboratório Nacional de Computação Científica, 2009. url: https://bdtd.ibict.br/vufind/Record/LNCC_7dfbadd75e60f72c58f1d5dbda866f9b.
D. T. Fernandes e A. F. D. Loula. “Quasi Optimal Finite Difference Method for Helmholtz Problem on Unstructured Grids”. Em: International Journal for Numerical Methods in Engineering 82.10 (2010), pp. 1244–1281. doi: 10.1002/nme.2795.
I. Harari e T. J. R. Hughes. “Galerkin/least-squares finite element methods for the reduced wave equation with non-reflecting boundary conditions in unbounded domains”. Em: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 98.3 (1992), pp. 411–454. doi: 10.1016/0045-7825(92)90006-6.
F. Ihlenburg. Finite element analysis of acoustic scattering. Applied mathematical sciences. New York: Springer, 1998. isbn: 0387983198.
F. Ihlenburg e I. Babuška. “Dispersion analysis and error estimation of Galerkin finite element methods for the Helmholtz equation”. en. Em: International Journal for Numerical Methods in Engineering 38.22 (1995), pp. 3745–3774. doi: 10.1002/nme.1620382203.
F. Ihlenburg e I. Babuška. “Finite element solution of the Helmholtz equation with high wave number Part I: The h-version of the FEM”. Em: Computers & Mathematics with Applications 30.9 (1995), pp. 9–37. doi: 10.1016/0898-1221(95)00144-N.
A. F. D. Loula, Gustavo B. Alvarez, E. G. D. Do Carmo e F. A. Rochinha. “A discontinuous finite element method at element level for Helmholtz equation”. Em: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 196.4-6 (2007), pp. 867–878. doi: 10.1016/j.cma.2006.07.008.
H. F. Nunes. “Método Completo de Diferenças Finitas Centradas para a Equação de Helmholtz”. Dissertação de mestrado. Universidade Federal Fluminense, 2024. url: http://mcct.uff.br/documentos-teses/#diss.
F. A. Rochinha, G. B. Alvarez, E. G. D. do Carmo e A. F. D. Loula. “A locally discontinuous enriched finite element formulation for acoustics”. Em: Commun. Numer. Meth. Engng. 23 (2007), pp. 623–637. doi: 10.1002/cnm.946.
I. Singer e E. Turkel. “High-order finite difference methods for the Helmholtz equation”. Em: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 163.1-4 (1998), pp. 343–358. doi: 10.1016/S0045-7825(98)00023-1.
G. Sutmann. “Compact finite difference schemes of sixth order for the Helmholtz equation”. Em: Journal of Computational and Applied Mathematics 203.1 (2007), pp. 15–31. doi: 10.1016/j.cam.2006.03.008.
T. Wu. “A dispersion minimizing compact finite difference scheme for the 2D Helmholtz equation”. Em: Journal of Computational and Applied Mathematics 311 (2017), pp. 497–512. doi: 10.1016/j.cam.2016.08.018.
