Uma relação entre matrizes tridiagonais por blocos, racionalidade de funções trigonométricas e polinômios de Fibonacci
DOI:
https://doi.org/10.5540/03.2025.011.01.0503Keywords:
Matriz tridiagonal por blocos, polinômio de Fibonacci, jogo Lights OutAbstract
Neste trabalho estudamos uma matriz tridiagonal por blocos, que se relaciona com a solubilidade do jogo Lights Out. Mostramos que o determinante e os autovalores dessa matriz se relacionam com os polinômios de Fibonacci de uma forma natural. Essa relação também aparece ao estudar a solubilidade do jogo por outra perspectiva, por meio de um operador linear. A partir do estudo de uma soma de cossenos ser racional, conseguimos uma condição necessária e suficiente para que dois determinados polinômios de Fibonacci sejam primos entre si.
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References
R. Barua e S. Ramakrishnan. “σ-game, σ+-game and two-dimensional additive cellular automata”. Em: Theoretical Computer Science 154.2 (1996), pp. 349–366. doi: 10.1016/0304-3975(95)00091-7.
J. W. Brown e R. V. Churchill. Complex Variables and Applications. 9a. ed. New York, New York: McGraw-Hill Professional, 2014. isbn: 9780073383170.
I. D’Agostin. “Aplicações de Álgebra Linear”. Dissertação de mestrado. UTFPR, 2020.
A. Graham. Matrix Theory and Applications for Scientists and Engineers. Mineola, New York: Dover Publications, 2018. isbn: 9780486824192.
V. E. Hoggatt Jr. e M. Bicknell. “Roots of Fibonacci Polynomials”. Em: The Fibonacci Quarterly 11.3 (1973), pp. 271–274. url: https://www.fq.math.ca/11-3.html.
T. Koshy. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Vol. 2. Hoboken, New Jersey: John Wiley e Sons, 2019. isbn: 9781118742082.
S. J. Leon. Álgebra Linear Com Aplicações. 8a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014. isbn: 9788521617693.
L. G. Molinari. “Determinants of block tridiagonal matrices”. Em: Linear Algebra and its Applications 429.8–9 (2008), pp. 2221–2226. doi: 10.1016/j.laa.2008.06.015.
S. Noschese, L. Pasquini e L. Reichel. “Tridiagonal Toeplitz matrices: properties and novel applications”. Em: Numerical Linear Algebra with Applications 20.2 (2013), pp. 302–326. doi: https://doi.org/10.1002/nla.1811.
G. Stănică e P. Stănică. “Recurrences for entries of powers of matrices”. Em: The Fibonacci Quarterly 55.5 (2017), pp. 166–173. url: https://www.fq.math.ca/Papers1/55-5/Stanica.pdf.
A. Verdério, I. D’Agostin, M. Sano e P. M. Kitani. “Algumas luminescências sobre o jogo Lights Out”. Em: No prelo (2024). doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2403.17967. url: https://arxiv.org/pdf/2403.17967.
