Álgebra geométrica aplicada à interseção de esferas e cascas esféricas
Keywords:
Geometria de Distâncias, Problema de Geometria de Distâncias, Interseção de Esferas, Álgebra Geométrica Conforme, Casca EsféricaAbstract
A Geometria de Distâncias (GD) é uma área de pesquisa que lida com problemas onde a distância é invariante por homeomorfismos. Um dos principais problemas nesta área é o Problema de Geometria de Distâncias (PGD) que consiste em determinar a posição de certos pontos no espaço conhecendo-se um subconjunto das distâncias entre eles. Exemplos de aplicações do PGD são vastos na literatura como: determinar a posição de astros celestiais na Astronomia, determinar a posição e orientação de objetos em um ambiente virtual na Computação Gráfica, para a navegação de robôs autônomos e movimentos de braços mecânicos na Robótica, no Sistema de Posicionamento Global (GPS) e na localização de redes na Ciência da Computação. Outra importante aplicação do PGD é a determinação de estruturas geométricas de moléculas, em especial no que diz respeito às proteínas. Este problema é chamado de Problema de Geometria de Distâncias Moleculares (PGDM). Sob certas condições, quando as distâncias são precisamente conhecidas, podemos interpretar o PGD como uma série de problemas de determinação de pontos na interseção de esferas. Este problema de intersecção de esferas em Rn foi trabalhado em estudos anteriores, tendo alguns resultados generalizados posteriormente, onde o cálculo da interseção de esferas é baseado na decomposição QR e se descreveu a interseção de uma quantidade qualquer de esferas n-dimensionais cujos centros não são necessariamente afimente independentes. Por outro lado, quando algumas distâncias são imprecisas, temos distâncias representadas por intervalos (Distância Intervalar) e surgem as chamadas cascas esféricas. Uma Casca Esférica é a região delimitada por duas esferas de mesmo centro e raios distintos. Em estudos recentes, é apresentado um novo método para lidar com este último caso, baseado na Álgebra Geométrica Conforme (AGC), que permite reduzir os tamanhos desses intervalos. A AGC foi utilizada também para estudar a interseção de esferas e uma casca esférica em Rn.
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