Minimizando o mau condicionamento da matriz de covariância na análise espectral de gama-pronto ativado por nêutrons

Abstract

 Muitas aplicações industriais se beneficiam do método de análise espectral de gama-pronto ativado por bombardeamento de nêutrons, tais como a análise de alimentos, medidas de traços de enxofre em amostras de carvão, medidas de salinidade, detecção de substâncias ilícitas, etc [1]. Quando uma amostra é bombardeada por um canhão de nêutrons (uma fonte como Cf-252), ela emite raios gama que podem ser detectados num dispositivo especıfico (detector de cintilação). Um gráfico da contagem de radiação é construído em função do espectro de energia (nıveis de energia são chamados aqui de canais), cada gráfico é uma “assinatura” da substância (ver Figura 1). É comum na literatura assumir-se que o gráfico espectral da amostra é uma combinação linear dos gráficos espectrais dos seus constituintes, o que nos permite escrever: bi m j1Aij · xj , com i  {1, ..., n}, onde bi é a taxa de contagem no i-ésimo canal do espectro da amostra desconhecida, Aij é a taxa de contagem no i-ésimo canal do j-ésimo componente e xj é o coeficiente do j-ésimo componente. Esse sistema linear, escrito na forma matricial A · X  b, onde A é uma matriz n  m, X é m  1 e b é n  1, possui equações que são, em geral, incompatíveis devido a ruídos de diversas fontes, como baixa resolução dos detectores, radiação externa e conversões de representação de sinal no hardware. Desta forma é comum aplicar-se um método de mínimos quadrados, que corresponde matricialmente a resolver o sistema: ATAX  AT b, onde a matriz quadrada (m m) ATA, simétrica, é mal condicionada, com determinante nulo ou próximo de zero. O condicionamento da matriz é dado pelo quociente entre o maior autovalor e o menor autovalor da matriz (também chamada de matriz de covariância). Este mau condicionamento pode ser provocado por, além do problema dos ruídos, a diferença de magnitude dos valores de contagem de diferentes componentes e também de possível correlação entre os gráficos dos constituintes. É importante também verificar que as medidas realizadas tem que levar em conta radiação de fundo, que pode ser proveniente das seguintes fontes: aradiação emitida nas vizinhanças da amostra; bradiação emitida na fonte e não devidamente contida; e cradiação emitida pelo material detector de radiação. Segundo Wang[2], uma devida estimativa da fração em peso dos constituintes da amostra deve ser feita tomando-se por base os dados de fundo, devido à sua natureza de imprevisibilidade. A aproximação realizado por Meric[1] aborda o problema do mau condicionamento atacando a questão das diferenças de magnitudes, particionando o conjunto de componentes em duas partes: a componente de mais altos valores de contagem numa parte, e as demais noutra parte. Um sistema com uma matriz menor é resolvido (com baixo condicionamento), e então a substância que foi separada é multiplicada pelo respectivo coeficiente e depois subtraída da amostra total. O procedimento é repetido Mestrando em Ciência da Comutação pela Universidade Federal de Pernambuco Figura 1: Taxa de contagem espectral de várias substâncias. para a segunda partição, e assim sucessivamente. Os resultados mostrados apresentaram erros que variaram de 0,85% a 4,7%. O presente trabalho propõe a construção da matriz de covariância utilizando um subconjunto próprio dos canais, o qual é escolhido baseando-se na forma dos gráficos e no condicionamento da matriz. O problema da escolha desse subconjunto pode ser modelado na forma de uma otimização, e diversos algoritmos serão testados. Num primeiro momento, serão testados sempre subconjuntos com m canais (que corresponde à dimensão do espaço gerado pelos gráficos constituintes), após o qual serão incorporados mais para melhor lidar com ruídos. Em dados simulados com 4 constituintes e 20 canais, com valores de contagem variando de 0 a 5,0, com os gráficos aproximadamente suaves e com partes correlacionadas, e aplicando uma otimização força-bruta (20 unidades combinadas de 4 em 4), concluímos que a escolha adequada dos canais reduziram o condicionamento acima de 1033 para apenas 66. Os dados reais possuem mais de 2000 canais, com um número típico de 6 constituintes, o que nos leva a tentar um algoritmo de otimização mais eficiente (ex: GRASP) e a incorporação de informações das formas dos gráficos para uma redução substancial do espaço de busca.