Simulações numéricas da equação de Schrödinger com laplaciano fracionário

Abstract

A Equação de Schrödinger com Laplaciano Fracionário é uma equação diferencial parcial não local com comportamento dispersivo. Tal equação foi inicialmente introduzida como uma generalização da integral do caminho de Feynman sobre trajetórias de Lévy, mas recentemente, também foi derivado como o limite contínuo de um sistema de rede microscópico com interações de longo alcance. Tal equação também aparece em alguns modelos de dinâmicas de ondas em águas. O presente trabalho tem por objetivo a realização de simulações numéricas da equação a fim de estudar seu comportamento local e global. As análises propostas estão baseadas em [1] e serão feitas em dimensão 1 (d = 1) para diversos valores dos parâmetros acima descritos. Devido a não localidade e a não linearidade da equação, as simulações serão feitas via métodos Fourier-Espectrais como o "Split-step Fourier spectral method"(SSFS) e o "Crank–Nicolson Fourier spectral method"(CNFS), métodos conhecidos na literatura e que possuem por característica a preservação de propriedades importantes, como a massa discreta (preservada por ambos os métodos) e a energia (no caso do métodos CNFS).