Álgebras dos quatérnios

uma abordagem para códigos de bloco espaço-tempo

Abstract

No contexto da criptografia, as álgebras de divisão são exploradas no problema de aprendizado com erros (LWE - Learning With Errors), que é a base para muitos esquemas criptográficos seguros contra ataques de computação quântica. As álgebras de divisão contribuem para o desenvolvimento de versões mais eficientes e seguras dos esquemas baseados em LWE, proporcionando uma estrutura algébrica complexa que favorece a geração de instâncias desafiadoras do problema LWE, além de contribuir significativamente para a redução da complexidade computacional e do tamanho das chaves criptográficas. Por outro lado, na área de comunicações sem fio, à qual demos ênfase neste trabalho, a estrutura algébrica das álgebras de divisão viabiliza a construção de códigos de bloco espaço-tempo (STBC - Space-Time Block Codes). Diversidade máxima (isto é, maior confiabilidade do sinal) e maior determinante mínimo (isto é, maior ganho de codificação) são os dois mais importantes critérios para construir bons STBC. Os autores sugerem que se deve usar uma ordem maximal de uma álgebra como um código reticulado, em vez da ordem natural que é amplamente utilizada, a fim de maximizar o ganho de codificação. Porém, encontrar ordens maximais dentro de uma álgebra não é uma tarefa simples e as álgebras de divisão cíclicas que produzem códigos com bom determinante mínimo são aquelas que têm como corpo base os corpos quadráticos imaginários.