Um Estudo sobre Reticulados Algébricos Cíclicos

Abstract

Sejam K um corpo de números de grau n > 1 e α ∈ K. O elemento α é chamado um inteiro algébrico se é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em Z. Seja O_K o anel dos inteiros algébricos de K, ou seja, o conjunto O_K = {α ∈ K : tal que α é raiz de um polinômio mônico f(x) ∈ Z[x]}. O anel O_K é um Z-módulo livre de posto n e uma base de O_K é chamada de uma base integral de K. Um reticulado L ⊂ Rⁿ de dimensão k é definido como L = BZ^k, onde 1 ≤ k ≤ n e B é uma matriz n × k de posto k. Um reticulado L possui posto completo se k = n. Os reticulados são estruturas geométricas amplamente utilizadas em aplicações de problemas como empacotamento esférico, códigos e criptografia pós-quântica. Uma maneira de obter reticulados é utilizando ferramentas da Teoria Algébrica dos Números e os calculando a partir de corpos de números; estes reticulados são chamados reticulados algébricos. Há várias propriedades que podem ser exploradas na Teoria dos Reticulados, como por exemplo os reticulados cíclicos, que recentemente apareceram em trabalhos de criptografia. Essa aplicação na criptografia baseada em reticulados motiva o estudo mais aprofundado deles. [...]