Número Cromático Antimágico Local de Duplas Vassouras com Diâmetro no Máximo 4

Abstract

Seja G = (V, E) um grafo conexo simples e f : E → {1, 2, . . . , |E|} uma bijeção. Para cada v ∈ V, o peso de v é dado por f⁺(v) = ∑_e∈E(v) f(e), onde E(v) denota o conjunto das arestas incidentes em v. Quando f⁺(v) ≠ f⁺(u) para todo par de vértices distintos v, u ∈ V, a bijeção f é denominada rotulação antimágica de G. Se uma tal rotulação existir, G é dito grafo antimágico. Em 1990, Hartsfield e Ringel [3] introduziram o conceito de rotulação antimágica de um grafo e conjecturaram que todo grafo conexo, com exceção do grafo completo K₂, é um grafo antimágico. Desde então, a conjectura tem recebido muita atenção, e foi provada para várias famílias especiais de grafos. Entretanto, a conjectura ainda não foi resolvida, mesmo para algumas famílias de grafos particularmente simples, como árvores. Em 2017, Aramugan et al. [1] introduziram o conceito de rotulação antimágica local de um grafo G como uma versão local do conceito de rotulação antimágica de Hartsfield e Ringel, para o caso em que f⁺(v) ≠ f⁺(u) para cada par de vértices adjacentes em G. Um grafo que admite tal rotulação é chamado grafo antimágico local. Ambos os grupos conjecturaram que todo grafo conexo, exceto K₂, é um grafo antimágico local. Tal conjectura foi provada, em 2018, por Haslegrave [4] usando métodos probabilísticos. Qualquer rotulação antimágica local induz uma rotulação própria dos vértices de G onde o peso do vértice f⁺(u) é o rótulo de u. Esse fato conduz naturalmente ao conceito de número cromático antimágico local, introduzido em [1]. O número cromático antimágico local, χ_la(G), é definido como o número mínimo de rótulos obtidos entre todas as rotulações de vértices induzidas por rotulações antimágicas locais de G. Seja T uma árvore de ordem n ≥ 3 com ℓ folhas. Os autores em [1] mostraram que ℓ + 1 ≤ χ_la(T). Além disso, foi conjecturado em [2] que, para qualquer árvore T com ℓ folhas, vale χ_la(T) ∈ {ℓ + 1, ℓ + 2}. Motivados por essa conjectura, investigamos o problema em uma família específica de árvores, as duplas vassouras. Essa família combina simplicidade estrutural com uma assimetria controlada, oferecendo um cenário adequado para examinar a conjectura. Dado um par de inteiros positivos p₁ e p₂, definimos uma dupla vassoura de diâmetro d > 1 como a árvore obtida a partir do caminho P_d-1 = (w₁w₂ . . . w_d-1), ao qual são adicionadas p₁ e p₂ folhas nos vértices w₁ e w_d-1, respectivamente. Denotamos essas árvores por B^d_p1,p2. Neste trabalho, construímos rotulações antimágicas locais para as duplas vassouras de diâmetros 3 e 4 e determinamos expressões para o número cromático antimágico local em cada caso. Tais resultados indicam que a variação de χ_la depende de forma sutil da interação entre p₁ e p₂, revelando limiares quadráticos que sugerem fenômenos análogos em famílias mais gerais de árvores. A seguir, enunciamos parte dos resultados obtidos. [...]