Uma Exploração sobre Torções Bem-Arredondadas de Reticulados no Plano

Abstract

Os reticulados desempenham um papel fundamental em diversas áreas da matemática, incluindo teoria dos números algébricos, teoria dos corpos e teoria dos corpos finitos. Em particular, reticulados provenientes de corpos de números totalmente reais reais são candidatos promissores para a construção de reticulados com boas propriedades, como empacotamento esférico e distância produto mínima [1, 2]. Neste trabalho, nos baseamos nas referências [3, 4] e exploramos o conceito de torções bem-arredondadas em reticulados oriundos de corpos quadráticos reais, com foco na construção explícita dessas torções. Para isso, consideramos Λ um reticulado de posto completo em Rⁿ. O conjunto dos vetores mínimos de Λ é definido por S(Λ) = {x ∈ Λ : ||x||² = |Λ|}, onde |Λ| = min{||x||² : x ∈ Λ, x ≠ 0} e || || é a norma euclidiana usual em Rⁿ. Um reticulado Λ é bem-arredondado se S(Λ) gera Rⁿ como espaço vetorial sobre R. Seja I um ideal no anel dos inteiros O_K de um corpo quadrático real K = Q(√D). A ideia central consiste em aplicar uma torção por meio de uma matriz diagonal, de modo que o reticulado torcido associado ao ideal I torne-se bem-arredondado. Primeiramente, introduzimos a noção de uma base B de um reticulado Λ ⊂ R² ser boa para torção. Considere o grupo diagonal A₂ = {T_α = [α 0; 0 1/α] : α > 0} e seja Λ ∈ L₂ := SL2(R)/SL2(Z) um reticulado. Uma base B de Λ será dita boa para torção (ou simplesmente uma boa base) se existir uma matriz de torção T_α ∈ A₂ tal que o reticulado torcido T_αΛ seja bem-arredondado e possua T_αB como uma base constituída de vetores mínimos. Diante disso, mostramos que B é boa para torção se, e somente se, F(B) = F(x, y) = N(x)² + N(x)N(y) + N(y)² - (N(I)²Δ_K)/4 ≤ 0, onde N(·) representa a norma, N(I) a norma do ideal e Δ_K o discriminante do corpo K. Além disso, para u ∈ K, escrevemos ū para indicar a conjugação Q-linear de K = Q(√D), isto é, a involução que envia √D em -√D. Nesse caso, quando F(B) ≤ 0, o parâmetro de torção é dado por α = ((ȳ² - x̄²)(x² - y²))^1/4. Ademais, mostramos que o reticulado ortogonal é uma torção de Λ_I se, e somente se, o ideal I admitir uma base B = {x, y} satisfazendo N(x) + N(y) = 0, bem como o reticulado hexagonal é uma torção de Λ_I se, e somente se, I admitir uma base B = {x, y} tal que F(x, y) = 0. Este estudo contribui para a compreensão das torções bem-arredondadas de reticulados Λ_I obtidos através de corpos quadráticos reais, oferecendo uma abordagem explícita para o seu cálculo. [...]