Uma abordagem usando o fibrado de clifford sobre a geometria diferencial de Branas

Abstract

 Primeiramente relembraremos, usando o formalismo do fibrado de Clifford (FFC) de formas diferenciais e a teoria dos extensores agindo em C(M, g) (o fibrado de Clifford de formas diferencias), a formulação da geometria intrínseca de uma variedade diferenciável M equipada com um tensor métrico g de assinatura (p, q) e uma conexão compatível com a métrica arbitrária , introduzindo o campo (2 1)-extensorial de torção τ , o campo (2 2)-extensorial de curvatura R e (uma vez fixado o calibre) o (12)-extensor de conexão ω e o operador de Ricci    (onde  é o operador de Dirac agindo em seções de C(M, g)) o qual apresenta grande importância nesse trabalho. Em seguida, usando o FFC daremos uma apresentação da geometria Riemanniana ou Lorentziana de uma subvariedade orientável M (dimM  m) mergulhada em uma variedade M (tal que M ' Rn está equipada com uma métrica semi-Riemanniana g de assinatura (p, q), p  q  n e com conexão de Levi-Civita D) onde definimos uma métrica g  ig, onde i : M  M é o mapa inclusão. Provamos várias formas equivalentes do operador de curvatura R de M [11]. Mostraremos um resultado muito importante, de que o operador de Ricci de M é o (negativo) quadrado do operador de formato (shape operator do inglês) S de M (objeto obtido aplicando-se o operador projeção P à restrição sobre M do operador de Dirac de C(M, g)). Também obteremos a relação entre o (1 2)-extensor de conexão ω e a biforma de formato (do inglês shape biform) S (um objeto relacionado com S). Os resultados obtidos são usados para dar uma formulação matemática para a teoria de Clifford da matéria. Esperamos que nosso trabalho seja útil para geômetras diferenciais e físicos teóricos interessados, e.g., em teoria de cordas e branas e na teoria da relatividade, divulgando e expandindo resultados muito importantes que aparecem na referência [5].