Análise de erros computacionais de um modelo generalizado da equação de Richards

Abstract

A infiltração de água no solo é um processo hidrológico cuja simulação computacional tem diversas aplicações em vários ramos da ciência, tais como irrigação, meio ambiente, petróleo e gás, geologia, agronomia dentre outras. A equação que governa esse fenômeno fısico é a Equação de Richards, que pode ser escrita como θ t x [ D(θ) θ x ] z [ D(θ) θ z ] K(θ) z (1) onde x é a coordenada horizontal, z é a coordenada vertical, t é o tempo, K(θ) é a condutividade hidráulica do solo não-saturado, D(θ) é a difusividade da água no solo e θ é o conteúdo volumétrico de água no solo. A equação de Richards unidimensional considerando apenas a infiltração da água na direção vertical já foi largamente explorada na literatura [1], [3], [6]. Entretanto, o escoamento horizontal apresenta particularidades que podem influenciar na solução numérica, conforme apresentado por [5]. Na tentativa de se obter uma melhor solução aproximada para a direção horizontal, [2] e [4] introduziram uma dependência empırica da difusividade hidráulica em relação a distância x e ao tempo t e usaram a derivada fracionária obtendo a equação de Richards generalizada, dada por γθ tγ x [ Dγ(θ) θ x ] (2) onde γ é a ordem da derivada fracionária, com 0  γ  1, observando-se resultados numéricos melhores do que aqueles obtidos com a representação clássica da equação de Richards. No entanto, apesar dos bons resultados numéricos obtidos, não há até o momento uma interpretação fısica para esta dependência. Neste trabalho apresenta-se um estudo da equação generalizada de Richards (2) para o problema na horizontal, que visa analisar os erros numéricos obtidos quando se reduz o número de passos utilizados no cálculo da derivada fracionária na discretização temporal e mantendo-se o Método de Diferenças Finitas para aproximar as derivadas espaciais. A solução semi-analıtica obtida por [5] será comparada com a solução numérica proposta.