Região de Voronoi de Reticulados na Métrica `p

Resumen

Um reticulado Λ é um subgrupo aditivo discreto de Rn . Equivalentemente, Λ ⊆ Rn é um reticulado se, e somente se, existem vetores linearmente independentes b1 , . . . , bk ∈ Rn tais que Λ = {α1 b1 + · · · + αm bk ; α1 , . . . , αk ∈ Z}. Reticulados vêm sendo utilizados na área de comunicações em códigos corretores de erros para a transmissão de dados (ver referências [1, 3]). Na descrição acima, o conjunto {b1 , . . . , bm } é dito uma base de Λ e o número k é denominado o posto de Λ. Se n = k dizemos que Λ possui posto completo. A matriz B cujas linhas são os vetores b1 , . . . , bm é chamada de matriz geradora de Λ. Se B é uma matriz geradora de um reticulado, então o denotamos por Λ(B). O subespaço vetorial de Rn gerado pelas linhas da matriz B é denotado por span(B), isto é, span(B) = {uB; u ∈ Rn }. Uma região fundamental F de um reticulado Λ = Λ(B) ⊆ Rn de posto k é qualquer subconjunto S de span(B) que ladrilha span(B) por translações v + F com v ∈ Λ, isto é, span(B) = v∈Λ v + F e dois ladrilhos v1 +F e v2 +F , com v1 , v2 ∈ Λ e v1 6= v2 , ou não se interceptam ou se interceptam apenas nos bordos. Na próxima seção, apresentamos a região de Voronoi, considerando a métrica `p , de um reticulado Λ e mostramos que, ao contrário do que ocorre na métrica `2 , a região de Voronoi nem sempre é uma região fundamental Pn de Λ. A norma `p de um vetor x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn é definida como kxkp = ( i=1 |xi |p )1/p , se 1 ≤ p < ∞, e kxkp = max{|x1 |, . . . , |xn |}, se p = ∞. A métrica induzida pela norma `p é chamada de métrica `p . [...]