Um estudo de estabilidade por Fourier para a equação de difusão fracionária com correção dimensional
DOI:
https://doi.org/10.5540/03.2022.009.01.0317Palabras clave:
Equação da difusão fracionária, Aproximações por diferenças finitas, Derivada de Riemann-Liouville, Correção dimensional, Análise de estabilidade.Resumen
Neste artigo, apresentamos um estudo da análise de estabilidade para a generalização da equação da difusão fracionária com coeficiente constante quando inserido o parâmetro de correção dimensional τ no modelo. A abordagem numérica escolhida é um esquema implícito de diferenças finitas, inspirado no método clássico de Euler regressivo. A derivada de ordem fracionária temporal adotada na equação é a de Riemann-Liouville e é aproximada pelo operador de Grünwald-Letnikov.A análise de estabilidade se conduz com a aplicação do método de Fourier nos permitindo mostrar ser incondicionalmente estável o método implícito proposto. Um experimento numérico também é apresentado com resultados exibidos a fim de comprovar as conclusões teóricas e a influência do termo de correção dimensional.
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Citas
D. Baleanu et al. Fractional Calculus. Models and Numerical Methods. 2ª ed. Singapore: World Scientific, 2012, p. 476.
J. G. Berryman. “Evolution of a stable profile for a class of nonlinear diffusion equations with fixed boundaries”. Em: Journal of Mathematical Physics 18.11 (1977), pp. 2108–2115.
R. F. Camargo e E. C. Oliveira. Cálculo Fracionário. 1ª ed. São Paulo: Livraria da Física, 2015, p. 183.
C. M. Chen, F. Liu e V. Anh. “A Fourier method and an extrapolation technique for Stokes’ first problem for a heated generalized second grade fluid with fractional derivative”. Em: Journal of Computational and Applied Mathematics 223.2 (2009), pp. 777–789.
C. O. Faria, C. A. de Moura e J. P. de Negreiros. “Algoritmos numéricos para a equação de difusão linear de ordem fracionária”. Em: Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics 8.1 (2021).
R. Garrappa. “On some explicit Adams multistep methods for fractional differential equations”. Em: Journal of Computational and Applied Mathematics 229.2 (2009), pp. 392– 399. [7] J. F. Gómez-Aguilar et al. “Fractional mechanical oscillators”. Em: Revista Mexicana de Física 58.4 (2012), pp. 348–352.
S. T. Graziane. “Derivadas fracionárias: tipos e critérios de validade”. Doutorado em Matetemática Aplicada. São Paulo: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Universidade Estadual de Campinas, 2019, p. 182.
R. J. LeVeque. Finite difference methods for ordinary and partial differential equations. Steady-state and time-dependent problems. Philadelphia: SIAM, 2007, p. 341. isbn: 9780898716290.
J. P. de Negreiros, C. A. de Moura e C. O. Faria. “Numerical algorithms considering a dimensional correction parameter on the fractional order diffusion equation”. Em: II Brazilian Symposium on Fractional Calculus (2022).
M. D. Ortigueira e J. T. Machado. “What is a fractional derivative?” Em: Journal of Computational Physics 293 (2015), pp. 4–13.
H. Spohn. “Surface dynamics below the roughening transition”. Em: Journal de Physique I 3.1 (1993), pp. 69–81.
J. Stephenson. “Some non-linear diffusion equations and fractal diffusion”. Em: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 222.1-4 (1995), pp. 234–247
