O estudo da concentração de poluentes na atmosfera utilizando parâmetros fuzzy e fronteira mista

Resumen

O objetivo desse trabalho consiste na modelagem matemática de uma fonte de poluição que consideramos sendo uma chaminé de indústria que contamina a atmosfera como uma nuvem de poluição que se espalha por uma cidade hipotética. Inicialmente, este estudo foi realizado apenas com a dispersão sendo um parâmetro fuzzy [3]. Consideramos o problema através de uma equação diferencial parcial evolutiva advectiva-difusiva em um domınio retangular, com condição de fronteira mista (Dirichlet e Neumann) e os parâmetros dispersão e velocidades no eixo x e y são calculados através de um Sistema Baseado em Regras Fuzzy (SBRF) [2]. Na região consideramos uma das fronteiras com condição de Neumann dada por ux(x, y)  ku onde k  0, como mostra a Figura 1. Figura 1: Região retangular com as fronteiras mistas e a localização da chaminé da indústria. A equação deste fenômeno é representada por: u t  α(T, P,U, u) ( 2u x2 2u y2 )  v1(A) u x  v2(A) u y  σu  f (1) onde u(x, y, t) é a concentração de poluentes no instante t, α representa a dispersão na área, v1, e v2 são as velocidades de transporte em x e y, respectivamente; σ representa o decaimento e o f a fonte de poluentes (neste trabalho, a chaminé). Consideramos que a dispersão e as velocidades são calculadas em função de algumas caracterısticas da posição da malha através de um SBRF. Vamos utilizar a temperatura (T ), a umidade relativa (U ), a pressão atmosférica (P ) e a concentração de poluição (u) de cada ponto da malha como fatores que influenciam a dispersão α. As velocidades são fatores importantes no estudo da concentração do poluentes, principalmente quando levamos em consideração a força de atrito que é provocada pelo relevo, pela presença de edifıcios, pela vegetação e outros fatores. Assim, consideramos que as velocidades dependem da força de atrito (A). Esta informação foi baseada no especialista na área de climatologia [4]. Este estudo com a fronteira de Dirichlet foi realizado em [1]. Os fatores que influenciam a dispersão e as velocidades são representados pelas funções: • T (x, y)  39e ( ((x1)2(y0.5)2) 5 ) ; • U(x, y)  0.8e ( ((x1)2(y0.5)2) 8 ) ; • P (x, y)  e ( ((x1)2(y0.5)2) 4 ) ; • A(x, y)  e ( ((x1)2(y0.5)2) 2 ) . Bolsista de Iniciação Cientıfica SESu/MEC até fevereiro de 2014 e Bolsista de Mestrado CAPES inıcio março de 2014 A dispersão α é calculada utilizando um SBRF onde as variáveis de entrada são funções de pertinência triangulares e os termos linguísticos são: baixa, média e alta; e as funções de pertinência da variável de saída são triangulares e termos linguístico são: muito baixa, baixa, médio 1, médio 2, alta e muito alta. Um exemplo de regra fuzzy é: se a pressão é baixa, a temperatura é alta, a umidade é baixa e a concentração de poluentes é média então a dispersão de poluentes é muito alta. As velocidades v1 e v2 são calculadas utilizando um SBRF onde as funções de pertinência das variáveis de entrada e de saıda são trapezoidais e os termos linguísticos são: baixa, média e alta. Um exemplo de regra fuzzy é: se a força de atrito é alta então as velocidades v1 e v2 são baixas. Na saída dos SBRF, obtemos diferentes valores de α, v1 e v2 para cada ponto da malha discretizada da região. Como a equação (1) não é linear, é necessário determinar a dispersão da poluição no presente instante afim de encontrar a solução em cada tempo posterior. Assim, utilizamos o cálculo da extrapolação da concentração da poluição através de uext 3 4 ui1 1 2 ui, i  1, 2, . . ., obtendo a concentração neste instante e determinamos a dispersão pelo SBRF em cada instante. Assim, a aproximação da solução numérica da equação (1) é obtida utilizando o método das diferenças finitas, o método de Crank-Nicolson e os parâmetros fuzzy α, v1 e v2. 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x y Figura 2: Condição inicial da concent. do poluente. 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x y Figura 3: Concent. do poluente após 20 iterações. 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 x 103 Tempo(t) Concentração de  Poluentes Nó 14 Nó 30 Nó 330 Nó 500 Figura 4: Concent. de poluentes nos nós 14, 130, 330 e 500. A Figura 2 apresenta o gráfico da condição inicial do poluente. Podemos observar que na Figura 3 houve perda de poluente na fronteira onde temos a condição de Neumann. As simulações foram feitas em quatro nós, com a finalidade de identificar a melhor localização para construir outras indústrias na cidade. Esta identificação é realizada observando-se onde a concentração de poluentes assume o menor valor, Figura 4. Pelas quantidades de poluentes em cada nó desta figura, nota-se que a região mais adequada para a construção de outras indústrias é a próxima do nó 330. Neste trabalho determinamos a melhor localização para um pólo industrial dentre os quatro nós estudados. Esta conclusão só foi possível porque a dispersão e as velocidades foram consideradas como parâmetros fuzzy.