Método de Quadrados Mínimos Fuzzy para Estudo de HIV a Partir de Dados Imprecisos

Resumen

Diversos problemas científicos, por mais complexos que sejam, seguem padrões bem definidos que podem ser descritos por ferramentas matemáticas. Ao realizarmos medições de certos dados ao longo do tempo, é possível identificar qual o comportamento do nosso objeto de estudo e, a partir disso, descrever matematicamente o problema de forma que seja possível a realização de previsões futuras, a partir de acontecimentos passados. No entanto, uma grande parte dos fenômenos da natureza possui uma incerteza intrínseca ou não somos capazes de coletar dados o suficiente para afirmar com absoluta certeza o comportamento do determinado fenômeno investigado. Por exemplo, ao informar o número de infectados por HIV no Brasil, é ilógico afirmar que há exatos 50 mil infectados e, na realidade, o mais usual é falarmos “em torno de 50 mil”. Esse fato faz com que tenhamos incerteza tanto no número de infectados quanto no número de suscetíveis. Aqui, essa incerteza será tratada pela teoria de conjuntos fuzzy. Para isso, precisamos de ferramentas matemáticas que não se restringem a uma natureza binária, na qual variáveis possuam graus de pertinência a um determinado objeto, possibilitando a descrição de diversos fenômenos sem restringi-los a valores únicos. Além disso, pode existir a dependência entre os dados, como ocorre por exemplo com dados longitudinais. Na teoria de conjuntos fuzzy, essa dependência é descrita por uma relação chamada de interatividade, definida por distribuições de possibilidade conjunta e manipulada algebricamente pelo princípio de extensão sup-J. Neste trabalho, a interatividade considerada foi a gerada a partir da distribuição J₀, proposta por [4]. No entanto, tais ferramentas exigem uma quantia considerável de operações que seriam quase impraticáveis de serem realizadas à mão. Portanto, para isso é necessário o uso de recursos computacionais para realização de cálculos precisos em um curto intervalo de tempo. Para modelarmos esses dados, ou seja realizarmos o ajuste de uma curva que tenha entradas fuzzy, lidamos com a reinterpretação de ferramentas da matemática clássica como o método dos quadrados mínimos e a decomposição LU. A proposta é produzir um ajuste linear fuzzy que se adeque não apenas a parte dos dados do conjunto real clássico, mas também que apresente uma faixa que nos informe sobre como a incerteza se projeta ao longo dessa curva. O método dos quadrados mínimos é uma técnica de otimização utilizada com a finalidade de preencher, estimar ou prever informações através de uma aproximação da curva que melhor descreve a dispersão dos dados conhecidos, minimizando o erro quadrado entre cada ponto e a curva prevista. A adaptação desse método para receber números fuzzy resulta em um conjunto de sistemas lineares que possui uma mesma matriz de coeficientes e, para resolvê-los, utilizamos a decomposição LU [1]. A decomposição LU é um método direto de resolução de sistemas lineares do tipo Ax = b na qual se fatora a matriz A em uma matriz triangular inferior com diagonal unitária L e uma matriz triangular superior U. Com essa decomposição, pode-se resolver, quase que imediatamente, qualquer sistema linear que possua a mesma matriz A não singular de coeficientes [2]. [...]