Determinação de microestruturas periódicas utilizando otimização topológica e homogeneização

Resumen

O osso trabecular, ou osso esponjoso, é responsável por cerca de 20% do esqueleto humano. Este tipo de osso é formado por lâminas ósseas (trabéculas) dispostas de tal maneira que deixam espaços livres entre si (porosidades). Esta estrutura óssea porosa é responsável pela rigidez e elasticidade do esqueleto [6]. O osso esponjoso é frequentemente afetado pela osteoporose, o que deixa os ossos menos densos e mais suscetıveis a fraturas. Devido a essa fragilidade e a outros problemas como artrose e fraturas, cada vez mais tem se recorrido às cirurgias de implante de prótese de quadril. Estas próteses podem ser produzidas com vários tipos de materiais, como por exemplo o titânio, que é biocompatıvel, ou seja, não sofre rejeição do corpo humano. Para que a integração da prótese com o meio ósseo seja efetiva, têm-se que garantir que as propriedades mecânicas do osso e da prótese sejam o mais próximas possıveis [4] [5]. Inicialmente, as ligas de titânio tem propriedades diferentes do meio ósseo. Uma forma de obter uma prótese de titânio com propriedades mecânicas especıficas é modificar a distribuição de titânio (material base) em um nıvel microscópico, com o objetivo de modificar a porosidade e arranjo microestrutural. Embora este procedimento possa ser feito por tentativa e erro, verifica-se que não é viável do ponto de vista econômico. Por isto, este trabalho aborda o projeto da microestrutura de titânio utilizando duas ferramentas bem estabelecidas na literatura: a otimização topológica de meios contınuos e o método da homogeneização por expansão assintótica. A homogeneização por expansão assintótica consiste na substituição de um meio heterogêneo por um meio homogêneo equivalente, que com base em dados relativos à distribuição microscópica de material, permite a obtenção de leis de comportamento macroscópico. Portanto, é um método que substitui as equações diferenciais com coeficientes de oscilação rápidos por equações diferenciais cujos coeficientes são constantes ou variáveis lentas [2] [3]. Desta forma, aplica-se o método da homogeneização para construir uma solução assintótica formal de um Problema de Valor de Contorno de elasticidade infinitesimal linear e anisotrópica com coeficientes periódicos e de rápida oscilação, modelando assim o comportamento do material poroso da prótese de titânio. A otimização topológica, por sua vez, estuda qual é a melhor distribuição de material que leva a extremização de um funcional. Neste caso, o funcional é associado a norma L2 da diferença do tensor de propriedades elásticas do meio ósseo e do obtido via homogeneização [1]. Como resultado, são obtidas microestruturas para diferentes nıveis de porosidade, de modo a obter o melhor acoplamento de propriedades entre um meio ósseo pré-determinado e o material de base.