Pavimentações do plano e quasicristais: uma proposta interdisciplinar para o ensino de geometria plana

Resumen

De acordo com a pesquisa realizada por Santos [3], alguns professores de matemática demonstram despreparo para ensinar geometria e os alunos apresentam dificuldades para compreendê-la, acarretando um ensino de geometria que se resume a nomes e definições. Por isso, muitos dos profissionais da educação, tanto do ensino fundamental, quanto do ensino médio, não se arriscam a demonstrar determinados conceitos em sala de aula devido, principalmente, ao pouco conhecimento sobre o assunto ou por não encontrarem no livro didático adotado pela escola, que em geral é sua única referência, atividades de investigação que contribuam para uma discussão teórica dos conceitos trabalhados. Esse cenário contribui para um colapso no processo de ensino-aprendizagem de geometria que preocupa diversos estudiosos, os quais buscam alternativas para resgatar esse conhecimento tão importante para a formação dos aprendizes. Por conseguinte, para a formação integral dos educandos é essencial que o ensino de geometria valorize atividades de exploração do espaço, com o uso de materiais diversos, dentre eles os recursos computacionais e, de preferência, que contemplem as experiências dos educandos. As atuais tendências em Educação Matemática, dentre elas a investigação matemática e informática na Educação Matemática ressaltam a importância da investigação, visualização e representações de objetos que propiciam a compreensão de conceitos geométricos. O estudo de pavimentações do plano pode contribuir no processo de ensino-aprendizagem de geometria, a medida que propicia o desenvolvimento de conhecimentos geométricos, da criatividade, do senso crítico e artístico. Assim, este trabalho tem como objetivo apresentar uma sequência didática para o ensino de geometria plana no ensino fundamental e médio, que usa a arte como um elemento motivacional e a química para uma aplicação significativa dos conceitos geométricos, através de programas computacionais como o GeoGebra e o SuperLogo. A sequência didática compreende atividades investigativas e é composta por quatro etapas. A primeira etapa contempla algumas definições à respeito de polígonos regulares, irregulares, convexos e não convexos. Essa etapa explorará os conhecimentos elementares para que os aprendizes possam construir diversos polígonos regulares no programa de geometria dinâmica GeoGebra e verificar quais deles ladrilham o plano. Após a constatação que apenas os polígonos regulares com três, quatro e seis lados ladrilham o plano, os alunos iniciarão o processo de dedução da fórmula para o ladrilhamento do plano, através da combinação de diferentes polígonos regulares: 1n1 1 n2  1n3 1 2 , onde n1, n2 e n3 representam o número de lados de cada polígono da pavimentação. A segunda etapa compreende as definições de pavimentação periódica e aperiódica, as quais são formadas por polígonos denominados por Roger Penrose de protoladrilhos. Na terceira etapa, os educandos irão construir no GeoGebra dois tipos de protoladrilhos: kite (papagaio) e dart (flecha) que são obtidos a partir do pentágono regular. A visualização no GeoGebra permite observar as dimensões dos lados dos protoladrilhos, cuja medida de seus lados maiores estão na proporção áurea em relação aos lados O presente trabalho foi realizado com apoio financeiro da Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), Brasil. †bolsista de Iniciação à Docência PIBID/CAPES menores, Figura 1a. A próxima etapa é elaborar um algoritmo no programa computacional SuperLogo para a construção dos protoladrilhos kite e dart. A quarta etapa consiste na implementação do algoritmo para construção de uma pavimentação aperiódica, Figura 1b. O termo pavimentações do plano significa preencher o plano com polígonos sem que haja sobreposições de peças e lacunas. Uma pavimentação periódica tem pelo menos duas translações não paralelas, sendo possível repetir um arranjo de peças, Figura 1c. Já nas pavimentações aperiódicas é impossível transladar um padrão da pavimentação sem alterar o arranjo de peças, ou seja, nas pavimentações aperiódicas não há repetição de nenhum grupo de peças. [...]