Int-DWTs: simplificações algébricas para aumento de exatidão em transformadas Wavelets

Resumo

Lógica Fuzzy, Matemática Intervalar, Implicações Fuzzy A matemática intervalar vem sendo empregada no tratamento da incerteza dos resultados aproximados em algoritmos numéricos da computação científica, onde os valores incertos são armazenados através de intervalos, cujos extremos são pontos flutuantes. Pela aplicação de conceitos da teoria intervalar, viabiliza-se a elaboração de algoritmos autovalidáveis, com controle automático para o limite dos erros inerentes aos processos numéricos de TDWs (Transformadas Discretas Wavelet) em sistemas computacionais. A principal meta deste projeto consiste no desenvolvimento de extensões intervalares de TDWs, considerando a famılia de funções wavelets ortonormais de Daubechies, funções Spline-Wavelets [Stollnitz et al. 1995a] e Wavelets interpolatórias [J.M. De Villiers 2003]. Os algoritmos originais de cada uma das transformações são o ponto de partida para o desenvolvimento de bibliotecas contendo suas extensões intervalares. Em uma primeira etapa foi desenvolvida a biblioteca Int-Haar [dos Santos et al. 2013] com a extensão intervalar das transformadas de Haar 1D e 2D [Stollnitz et al. 1995b]. Através deste estudo preliminar, observou-se que uma questão chave para a obtenção de extensões intervalares competivivas é a possibilidade de se introduzir simplicações algébricas a fim de se eliminar o cálculo de valores irracionais. A avaliação da otimização implementada é realizada utilizando Interval, estrutura de dados de alta precisão contida na biblioteca C-XSC para representação de intervalos reais. De acordo com os algoritmos originais para a transformada de Haar [Stollnitz et al. 1995b] estudados inicialmente, durante a transformação normalizada o erro é gerado e propagado por todos os níveis de decomposição e composição dos dados. A otimização atua neste processo, separando-o em duas etapas, que correspondem a dois procedimentos complementares. Durante a primeira etapa os dados são decompostos utilizando a abordagem não normalizada, que não implica em erro de cálculo [dos Santos et al. 2013]. A segunda etapa transforma os coeficientes resultantes utilizando os fatores de normalização, gerados pela regra R1N . Os procedimentos para a execução da TWH bidimensional utilizam do mesmo princípio apresentado no parágrafo anterior. Porém, nesta extensão fora desenvolvido uma segunda regra, denominada neste artigo como R2N , para os procedimentos bidimensionais. As regras para cálculo dos fatores de normalização são descritas como: R1N  2 j 2 ; R2N  2 (j′j′′) 2 (1) onde que 0  j, j′, j′′  (log2 n) 1, n indica a ordem da matriz e j, j′ e j′′ são os níveis de aplicação da TWH.