Códigos perfeitos na métrica lp sob o reticulado A2

Resumo

Neste trabalho vamos considerar métricas em Rn induzidas por uma norma, isto é d(x, y) = ∥x− y∥. Consideremos Λa um reticulado, de agora em diante denominado como reticulado ambiente. Diremos que qualquer sub-reticulado Λ ⊂ Λa é um código no ambiente Λa. Um ladrilhamento do Rn por um reticulado Λ é uma cobertura disjunta do Rn por uma região fundamental F fixada, isto é, Rn = ⋃ x∈Λ (x + F), em que F é uma região fundamental qualquer. Regiões fundamentais associadas a um reticulado são regiões que ladrilham o span(B) através de translações por pontos do reticulado. Outro conceito importante e que utilizaremos bastante é o de bola discreta. Dado um reticulado Λa, a bola discreta denotada por B̃p(x, r) (bola na métrica lp) é definida como B̃p(x, r) = {(y1, . . . , yn) ∈ Λa : |x1 − y1|p + . . .+ |xn − yn|p ≤ rp}, 1 ≤ p < ∞. Quando x = 0, denotaremos a bola simplesmente por B̃p(r). As caracterizações de ladrilhamentos podem ser vistas com mais detalhes em [6]. É significativo definir o conjunto de todas as distâncias realizáveis em Λa, dado por Dn = Dn(Λa) = {∥x∥ : x ∈ Λa}. Definimos o raio de empacotamento (discreto), denotado por r(Λ), como sendo o maior r, tal que (i) ((B̃p(r) + λ) ∩ B̃p(r)) ∩ Λa = ∅, onde 0 ̸= λ ∈ Λ; (ii) r ∈ Dn(Λa). Além disso, se Λ também cumprir a seguinte propriedade (iii) B̃p(r) + Λ = Λa, Λ será dito um código r-perfeito em Λa. Sendo assim, o problema de encontrar códigos perfeitos em Λa está associado à dificuldade de encontrar uma cobertura para Λa. Nesse sentido, veremos condições para se obter esses códigos.