Modelagem Matemática da Configuração de Navios via Programação Geométrica

Resumo

O Princípio de Arquimedes estabelece que um corpo submerso em um fluido está sujeito a uma força de empuxo cujo módulo equivale ao peso deslocado do líquido. Com o aumento da intensidade do movimento, o sistema torna-se mais complexo e suscetível a perturbações dinâmicas. No caso de navios que operam com transporte fixo entre portos, essa estabilidade é diretamente influenciada pela distribuição da carga, levando os projetistas a otimizarem o design das embarcações a fim de minimizar os custos operacionais. A Programação Geométrica (PG) constitui uma abordagem eficaz para a solução desse problema, promovendo maior eficiência operacional e viabilidade econômica [1]. A saber, o desenvolvimento da PG busca resolver problemas algébricos de programação não linear nos quais tanto a função objetivo quanto as restrições possuem estrutura posinomial. Um posinômio é definido como a soma de múltiplos monômios, em que cada monômio corresponde ao produto de uma constante positiva por variáveis positivas elevadas a expoentes reais [2]. Nesse contexto, a função objetivo representa a grandeza a ser minimizada, sujeita às limitações impostas pelas restrições do problema. Para o estudo proposto, a função objetivo, (1), considera o volume e a velocidade do navio, bem como o deslocamento de carga. As restrições (2) e (3) envolvem o desempenho da embarcação, enquanto (4) aplica o Princípio de Arquimedes. O Número de Froude, em (5), garante semelhança entre o modelo e o protótipo. As inequações (6) a (9) asseveram segurança, equilíbrio, resistência estrutural e proporcionalidade entre os volumes da carga e do navio, respectivamente. Diante da análise do problema, observa-se que as funções presentes no modelo são posinomiais, as quais envolvem nove variáveis primais e dezessete termos. Convém ressaltar que, na PG, os problemas posinomiais podem ser reformulados como convexos, fato que assegura a existência de uma solução global e viabiliza a aplicação dos métodos de otimização. Ademais, a dualidade desempenha um papel fundamental nessa modificação, uma vez que o problema dual associado geralmente apresenta uma estrutura mais simples do que o problema original, ou primal. Essa característica facilita sua resolução, ao passo que permite a obtenção da solução ótima global [4]. Com o intuito de construir navios operantes com o menor custo possível, utilizar-se-á a técnica desenvolvida e implementada por [3]. Baseada na desigualdade entre as médias ponderada e harmônica, essa abordagem permite expressar as condições de otimalidade como um problema de Programação Geométrica convexa e emprega um método de pontos interiores primal-dual do tipo preditor-corretor para sua solução. Dessa forma, é possível resolver o problema dual da PG e obter a solução primal por meio de transformações exponenciais. O valor ótimo de custo, y^*, obtido com o método preditor-corretor foi 67,62 · 10⁶, com diferença de apenas 0,24% em relação ao original. As variáveis N^*, B^*, L^* e H^* mantiveram-se praticamente inalteradas. Houve uma redução de 0,36% no custo de produção, o que é relevante para a indústria. Os resultados demonstram excelente precisão e eficiência do método preditor-corretor, evidenciando seu potencial para aplicações práticas na otimização de projetos navais. [...]