Soma dos maiores autovalores da matriz Laplaciana sem sinal de um grafo

Resumo

Seja G um grafo simples com n vértices e e(G) arestas. Denotamos por A  A(G) a matriz de Adjacência de G e D  D(G) a matriz diagonal da soma das linhas de A, isto é, os graus de cada vértice de G. A matriz Q  Q(G)  D A, que vem sendo estudada com grande intensidade nos últimos anos, é chamada de matriz Laplaciana sem sinal do grafo G. Sendo Q uma matriz simétrica e semi-definida positiva, seus autovalores são reais e não negativos e podem ser ordenados de forma não crescente como q1  q2  . . .  qn  0. Poucos trabalhos têm estudado a soma dos maiores autovalores da matriz Q e, recentemente, Ashraf et al. [1] conjecturaram que Tk(G) k i1 qi  e(G) ( k  1 2 ) . (1) É fácil provar que a Conjectura (1) é válida para k  1, n  1, n e Ashraf et al. [1] provaram, recentemente, que a Conjectura (1) é válida para os grafos regulares e para k  2 quando G é não regular. Neste trabalho, examinamos alguns resultados disponíveis na literatura e apresentamos alguns avanços na Conjectura (1) para o caso k  3.