Derivada Topológica de Primeira e Segunda Ordem no Problema de Tomografia por Impedância Elétrica

Resumo

O problema de tomografia por impedância elétrica consiste em determinar a distri- buição de condutividade elétrica de um meio a partir de medidas tomadas na fronteira do corpo. Esse problema tem diversas aplicações em medicina com a detecção de tumores e monitoramento de apneias, em geofísica e ciências ambientais com a localização de depósitos de minerais e moni- toramento de fluídos, e na engenharia com a detecção de corrosões em estruturas. Neste trabalho, objetiva-se reconstruir um conjunto de inclusões com coeficiente de condutividade elétrica distinta do meio, submetendo o corpo a um conjunto de fluxo elétrico e medindo a correspondente dis- tribuição de campo elétrico sobre sua fronteira. Como esse problema é escrito na forma de uma equação diferencial parcial sobredeterminada, a ideia básica consiste em reescrevê-lo na forma de um problema de otimização. Em particular, objetiva-se minimizar um funcional de forma que mede a diferença entre os potenciais medidos e calculados numericamente. Sobre a solução do problema inverso, ambos potenciais coincidem. Sendo assim, o referido funcional é minimi- zado utilizando o conceito de derivada topológica de primeira e segunda ordem. Cabe esclarecer que a derivada topológica de primeira ordem não fornece informação suficiente para resolução do problema inverso, apresentando seus valores críticos sobre a fronteira do domínio devido à elipticidade do problema.