Aplicação de esquemas Galerkin Descontínuo em problemas hiperbólicos em 2D
DOI:
https://doi.org/10.5540/03.2021.008.01.0369Palavras-chave:
Leis de Conservação, Método Galerkin Descontínuo, TVB Runge-Kutta, Propriedade Well-Ballanced, Shallow Water Equations, Equação de Burgers sem viscosidade.Resumo
Neste trabalho utilizamos o método de elementos finitos Galerkin Descontinuo Runge- Kutta (RKDG) em uma malha triangular para obter soluções numéricas para problemas hiperbólicos em 2D, em particular para leis de conservação escalares e para o sistema de leis de balanço shallow water. Este método consiste na discretização espacial através do método Galerkin Descontínuo e na aplicação da aproximação Runge-Kutta de terceira ordem no tempo. A formulação do método Galerkin Descontínuo utiliza uma abordagem local, visto que a abordagem global não é capaz de lidar com a formação de choque e a interação das ondas. A utilização deste método requer a aplicação do limitador TVB para retirar as oscilações espúrias geradas, e no caso em que a variável conservada/balanceada é limitada será necessário também a aplicação do limitador positive preserving. Para calcular as integrais requeridas uma quadratura Gaussiana especial foi aplicada, de forma a satisfazer a condição CFL que garante a convergência do método numérico.
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Referências
Abreu, E., Matos, V., Pérez, J. and Rodríguez-Bermúdez, P. A Class of Lagrangian-Eulerian Shock-Capturing Schemes for First-Order Hyperbolic Problems with Forcing Terms. J. Sei. Comput. 86, 14, 2021.
Abreu, E., Perez, P. A fast, robust, and simple Lagrangian-Eulerian solver for balance laws and applications, Computers & Mathematics with Applications, 77(9): 2310-2336, 2019.
Araújo, I. L. N. Aplicação de esquemas de Galerkin Descontínuo em problemas hiperbólicos em 2D, Dissertação de Mestrado, UFF, 2020.
Cockburn, B., Shu, C.-W. TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws II: general framework, Math. Comp., 52: 411-435, 1989.
Cockburn, B., Shu, C.-W. The Runge-Kutta discontinuos Galerkin method for conservation laws V: multidimensiona systems, Journal of Computational Physics, 141:199-224, 1998.
LeVeque, R. J. Numerical Methods for Conservation Laws, second ed. Birkhauser, 1992.
LeVeque, R. J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002.
Perez, J. A. Lagrangian-Eulerian approximation methods for balance laws and hyperbolic conservation laws, Tese de Doutorado, 2015.
Vreugdenhil, C. B. Numerical Methods for Shallow Water Flow. Kluwer Academic Publishers, 1994.
Xing, Y., Zhang, X. Positivity-preserving well-blanced discontinuous Galerkin methods for the shallow water equations on unstructured triangular meshes, J. Sei. Comput., 57:19-41, 2013.
Xing, Y., Zhang, X., Shu, C.-W. Positivity-preserving high order well-balanced discontinuous galerkin methods for the shallow water equations, Adv. Water Resources, 33:1476-1493, 2010.
Zhang, X., Xia, Y., Shu, C.-W. Maximum-principle-satisfying and positivity-preserving high order discontinuous Galerkin schemes for conservation laws on triangular meshes, Journal of Scientific Computing, 50:29-62, 2012.
