Grafos e Curvas em Superfícies

Resumen

Seja N uma superfície fechada e orientada com gênero n > 0. Um emparelhamento de arestas de um polígono regular P_n, com n = 2A lados chamados de arestas, separadas por pontos chamados de vértices, é uma aplicação quociente ϕ : P_n → N [3]. A imagem do bordo de P_n pode ser associada a um grafo G = (V, A), mergulhado em N, onde a aplicação ϕ leva pares de arestas (Γ_i, Γ_i⁻¹) de P_n em uma aresta γ_i de G e leva k vértices {u₁, ··· , u_k} de P_n (k ≥ 2) sobre um vértice u de G (ver Figura 1). O número k corresponde ao grau do vértice u. Um grafo G mergulhado em N é dito grafo do emparelhamento de arestas se existe uma aplicação quociente ϕ : P_n → N tal que G coincide com a imagem do bordo de P_n. Ou seja, um grafo é de emparelhamento de arestas se, e somente se, seu complemento em relação a N é homeomorfo a um disco. Em [5] os autores chamaram o emparelhamento cujo grafo tem um único vértice de emparelhamento canônico. Em [2] os autores introduziram duas cirurgias de emparelhamento de arestas, chamadas de cirurgia vertical e cirurgia horizontal. Estas cirurgias permitem determinar famílias de grafos de emparelhamento de arestas sobre uma superfície W = M#N, a partir de dois grafos de emparelhamento G₁ e G₂, mergulhados nas respectivas superfícies fechadas e orientadas M e N. Mais tarde, em [5] os autores introduziram a extensão e a contração de grafos de emparelhamento de arestas sobre uma superfície fechada e orientada. Com essa técnica mostraram que qualquer grafo de emparelhamento de arestas sobre uma superfície N pode ser obtido por uma sequência de extensões de um grafo de emparelhamento canônico sobre N. Sejam Γ = ∪_i=1^rS_i¹, a união de r círculos, r ≥ 1, e f : Γ → N uma imersão de Γ em N. Denotamos por B_f = f(Γ) a imagem de Γ por f e por C^∞(Γ, N) o conjunto de todas as aplicações suaves f : Γ → N. Uma aplicação f ∈ C^∞(Γ, N) será dita estável se todas as autointerseções em B_f, chamados de pontos duplos, são transversais [1, 4]. Ou seja, B_f não tem pontos de tangências ou outras singularidades além de possíveis pontos duplos transversais e isolados. O conjunto de todas as aplicações estáveis será denotado por E(Γ, N). Duas aplicações suaves f, h ∈ C^∞(Γ, N) são ditas homotópicas se existe uma aplicação H : Γ × [0, 1] → N continua, tal que H(x, 0) = h(x) e H(x, 1) = f(x), para todo x ∈ Γ. Uma aplicação f : Γ → N será dita aplicação planar se f é homotópica a alguma aplicação h : Γ → N, tal que h(Γ) ⊂ D_N, onde D_N denota uma região simplesmente conexa de N (ver Figura 2). A proposta deste trabalho é apresentar uma condição necessária para que uma dada aplicação estável f : Γ → N seja uma aplicação planar. Para isso vamos considerar um grafo G de algum emparelhamento de arestas em N, que será dito transversal ao conjunto de curvas B_f em N se o conjunto de interseção G ∩ B_f é vazio ou se p ∈ G ∩ B_f então p não é um vértice de G e nem um ponto duplo de B_f, além disso a interseção entre B_f e G em p ocorre de forma transversal [6]. O número de pontos na interseção entre B_f e G será denotado por #{G ∩ B_f}. Os graus dos vértices de G e o número #{G ∩ B_f} fornece uma condição necessária para que f seja uma aplicação planar. [...]