Comparação entre Elementos Finitos Triangulares e Quadriláteros na Solução da Equação de Poisson

Resumen

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma ferramenta numérica eficaz para resolver equações diferenciais parciais. Eles subdividem o domínio em pequenos elementos de formas variadas, permitindo uma abordagem local e mais precisa, especialmente em problemas complexos que, devido à sua natureza, seriam difíceis ou até mesmo impossível de resolver analiticamente [2]. Este trabalho tem como objetivo estudar os conceitos fundamentais dos MEF, focando em avaliar o comportamento destes elementos diante do problema abordado. Para ilustra a aplicação do método, considera-se a equação de Poisson em um domínio bidimensional com condições de contorno de Dirichlet: dada uma função f : Ω → R, determine u : Ω → R tal que -∆u(x, y) + u(x, y) = f(x, y), x, y ∈ Ω, u(x, y) = 0, x, y ∈ Γ, em que, Ω =]0, 1[×]0, 1[ é um subconjunto do R², Γ a fronteira de Ω e Ω = Ω ∪ Γ. Multiplicamos a formulação forte do problema por uma função teste v que satisfaz a condição de fronteira do problema e seja suficientemente regular. O resultado é integrado em Ω e aplicando a condição de fronteira, obtém-se a formulação fraca. Aplicado o método de Galerkin com um espaço aproximado de dimensão m, onde as funções φ_i para i ∈ {1, · · · , m} compõem a base, e assumindo que u e v pertence a esse espaço, obteve-se o problema aproximado, que pode ser desenvolvido até sua formulação na forma matriz-vetor, expressa por: Kc = F, onde K_ij = κ(φ_j , φ_i) e F_i = (f, φ_i) com i, j ∈ {1, 2, · · · , m}, c ∈ R^m e com a solução aproximada dada por u_h = Σ^m_i=1 c_iφ_i. Para resolver o sistema, foram desenvolvidos dois programas em Julia [1], testados com dados de entrada cuja solução é conhecida. Os programas tem como base os conceitos de mudança de variáveis para o elemento referencial e integração numérica usando a Quadratura Gaussiana. Neste tipo de problema, embora o modelo com elementos quadriláteros apresente menor erro, o uso de elementos triangulares mostra-se mais eficiente do ponto de vista computacional, por requerer menos memória e tempo de processamento, mesmo com o dobro de elementos. Isso se deve à utilização do elemento referencial, que torna a segunda derivada constante, simplificando os cálculos. Assim, o modelo triangular revela-se a alternativa mais vantajosa para essa análise. [...]